一、简答题（50分）

1. 几何组成分析。（10分）

【答案】基础刚片Ⅰ与刚片Ⅱ通过即不交于一点也不完全平行的三个链杆相连，满足两刚片规则，组成的整体为无多余约束的扩大基础刚片。

在扩大基础刚片上增加由a,b链杆组成的二元体及由c,d链杆组成的二元体后得到进一步扩大的基础刚片，此时链杆e两端同时连接在扩大后的基础刚片，因此为多余约束。

综上，该体系为有1个多余约束的几何不变体系。

2. 用力法计算图示结构，列出力法方程并计算方程中的系数和自由项（EI=常数）。（8分）

【答案】力法基本体系（2次超静定）

力法方程

$\delta_{11} X_1+\delta_{12} X_2+\Delta_{1 P}=-\frac{X_1}{k}$

$\delta_{21} X_1+\delta_{22} X_2+\Delta_{2 P}=-\frac{X_2}{k_\theta}$

计算系数和自由项

$\delta_{11}=\sum \int \frac{\bar{M}_1 \bar{M}_1}{E I} d s=\frac{1}{E I}\left(\frac{1}{2} \times l \times l \times \frac{2}{3} \times l\right) \times 2=\frac{2 l^3}{3 E I}$

$\delta_{12}=\delta_{21}=\sum \int \frac{\bar{M}_1 \bar{M}_2}{E I} d s=\frac{1}{E I}\left(\frac{1}{2} \times l \times l \times \frac{1}{3} \times 1\right)=\frac{l^2}{6 E I}$

$\delta_{22}=\sum \int \frac{\bar{M}_2 \bar{M}_2}{E I} d s=\frac{1}{E I}\left(\frac{1}{2} \times l \times 1 \times \frac{2}{3} \times 1\right)=\frac{l}{3 E I}$

$\Delta_{1 P}=\sum \int \frac{\bar{M}_1 M_P}{E I} d s=-\frac{1}{E I}\left(\frac{1}{2} \times l \times l \times \frac{2}{3} \times \frac{P l}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{l}{2} \times \frac{P l}{2} \times \frac{5}{6} \times l\right)=-\frac{13 P l^3}{48 E I}$

$\Delta_{2 P}=\sum \int \frac{\bar{M}_2 M_P}{E I} d s=-\frac{1}{E I}\left(\frac{1}{2} \times l \times 1 \times \frac{1}{3} \times \frac{P l}{2}\right)=-\frac{P l^2}{12 E I}$

3. EI=常数，EA=常数时位移法基本未知量及位移法方程；不考虑轴向变形时位移法基本未知量及位移法方程。（8分）

【答案】EA=常数时位移法基本未知量为刚结点的水平、竖向线位移以及角位移

位移法方程

$([\begin{array}{ccc} \frac{E A}{l} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12 E I}{l^{3}} & \frac{6 E I}{l^{2}} \\ 0 & \frac{6 E I}{l^{2}} & \frac{4 E I}{l} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} \frac{12 E I}{l^{3}} & 0 & - \frac{6 E I}{l^{2}} \\ 0 & \frac{E A}{l} & 0 \\ - \frac{6 E I}{l^{2}} & 0 & \frac{4 E I}{l} \end{array}]) {\begin{cases} Δ_{1} \\ Δ_{2} \\ Δ_{3} \end{cases}} = {\begin{cases} P \\ 0 \\ 0 \end{cases}}$

$[\begin{array}{ccc} \frac{E A}{l} + \frac{12 E I}{l^{3}} & 0 & - \frac{6 E I}{l^{2}} \\ 0 & \frac{E A}{l} + \frac{12 E I}{l^{3}} & \frac{6 E I}{l^{2}} \\ - \frac{6 E I}{l^{2}} & \frac{6 E I}{l^{2}} & \frac{8 E I}{l} \end{array}] {\begin{matrix} Δ_{1} \\ Δ_{2} \\ Δ_{3} \end{matrix}} + {\begin{matrix} - P \\ 0 \\ 0 \end{matrix}} = {\begin{cases} 0 \\ 0 \\ 0 \end{cases}}$

不考虑轴向变形时位移法基本未知量为刚结点的角位移

位移法方程

$\frac{8 E I}{l} \Delta_1=0$

4. 下图各结构中C点的竖向位移最大和最小的结构分别为，试说明原因。（8分）

【答案】C点的竖向位移最大的为结构（c），C点的竖向位移最小的为结构（a）；分析过程如下：

结构（a）与结构（b）(或结构（c）)相比，存在多余支座约束力X，即结构（a）中C点的竖向位移等于结构（b）加结构（1）；结构（1）中多余约束力X使C点产生向上的竖向位移，因此结构（a）中C点的竖向位移小于结构（b）和结构（c）。

结构（b）与结构（c）分别可视为结构（d）和结构（e）的（左）等代半结构，结构（d）和（e）的D点竖向荷载分别使结构（d）和（e）的C点产生向上和向下的竖向位移，因此结构（d）的竖向位移小于结构（e），也即结构结构（b）的竖向位移小于结构（c）。

综上可知，C点的竖向位移最大的为结构（c），C点的竖向位移最小的为结构（a）。

5. 静定结构和超静定结构在支座移动、温度变化作用下产生内力和变形吗？举例说明。（8分）

【答案】静定结构在支座移动下不引起内力和变形，结构发生刚体位移。举例：图16

超静定结构在支座移动下不一定引起内力和变形（可作多余约束的支座约束发生支座移动时引起内力和变形，不可作多余约束的支座约束发生支座移动时不引起内力和变形-同静定结构支座移动，为刚体位移）。举例：图17-不引起内力和变形，图18-引起内力和变形

静定结构在温度作用下不引起内力，会引起变形。举例：图19

超静定结构在温度作用下不一定会引起内力，不一定会引起变形（当温度作用产生的自由变形被多余约束限制时，结构会产生内力；当温度内力产生的变形与温度自由变形抵消时超静定结构无变形）。举例：图20-有变形无内力，图21-有变形有内力，图22-有内力，无变形

6. 试说明变形体虚功原理与刚体虚功原理的联系与差异，虚功原理与力系平衡方程、变形协调方程的关系。（8分）

【答案】变形体虚功原理与刚体虚功原理的联系：刚体虚功原理是变形体虚功原理的基础也是变形体虚功原理的特例，两者均表示结构的一个满足力系平衡条件的力状态的外力在结构的另一个相互独立的满足变形协调条件的位移状态上所做的总虚功等于零。

变形体虚功原理与刚体虚功原理的差异：变形体虚功原理的位移状态包含变形，而刚体虚功原理的位移状态不含变形，仅为刚体位移；因此刚体虚功原理对应的总虚功=外力总虚功=零，变形体虚功原理对应的总虚功=外力总虚功-内力在虚变形上做的总虚功=零，即外力总虚功=内力在虚变形上做的总虚功。

当位移状态为满足变形协调的已知状态时，虚功原理等价于力状态的力系平衡方程；当力状态为满足力系平衡方程的已知状态时，虚功原理等价于位移状态的变形协调方程。

二、试计算下图结构，并绘制弯矩图、剪力图和轴力图。（20分）

【答案】首先根据对称性求解上部静定附属部分

然后利用对称性及（剪力）分配法计算下部1次超静定结构

竖杆抗侧刚度：$3 E I / a^3$，链杆轴向刚度：$3 E I / a^3$；故分配系数均为1/2，即竖杆的剪力为-qa/4，链杆的轴力为qa/4。

内力图

三、计算图（a）所示结构B点的竖向位移，EA=常数；若将荷载移至上弦杆，如图（b），则B点的竖向位移将如何变化，为什么？（20分）

【答案】采用单位荷载法计算B点的竖向位移

$\Delta_{B V}=\sum \frac{F_N \bar{F}_N l}{E A}=\frac{1}{E A}\left(2 P \times \frac{1}{2} \times 2 a \times 4+3 P \times 1 \times 4 a+2 \sqrt{2} P \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{2} a \times 4+\frac{3 \sqrt{2}}{2} P \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 \sqrt{2} a \times 2\right)=\frac{(20+14 \sqrt{2}) P a}{E A}$

如图（b）所示将荷载移至上弦结点时，B点的竖向位移降低，因为荷载传力路径变短了，或者通过静定结构在平衡力系作用下局部平衡特性可快速获结构的轴力图，并计算B点竖向位移。

$\Delta_{B V}=\sum \frac{F_N \bar{F}_N l}{E A}=\frac{1}{E A}\left(2 P \times \frac{1}{2} \times 2 a \times 4+P \times 1 \times 4 a+2 \sqrt{2} P \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{2} a \times 4+\frac{3 \sqrt{2}}{2} P \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 \sqrt{2} a \times 2\right)=\frac{(12+14 \sqrt{2}) P a}{E A}$

四、计算图示结构，并绘制弯矩图，EI=常数。（20分）

【答案】采用位移法计算并绘制结构的弯矩图

（1）位移法基本体系（2个基本未知量）

（2）位移法方程

$k_{11} \Delta_1+k_{12} \Delta_2+F_{1 P}=0$

$k_{21} \Delta_1+k_{22} \Delta_2+F_{2 P}=0$

（3）计算刚度系数和自由项

$F_{1 P}=-\frac{5}{16} q l, \quad F_{2 P}=\frac{1}{3} q l^2, \quad k_{11}=\frac{6 E I}{l^3}, \quad k_{12}=k_{21}=-\frac{3 E I}{l^2}, \quad k_{22}=\frac{7 E I}{l}$

（4）解位移法方程

$\frac{6 E I}{l^3} \Delta_1-\frac{3 E I}{l^2} \Delta_2-\frac{5}{16} q l=0$

$-\frac{3 E I}{l^2} \Delta_1+\frac{7 E I}{l} \Delta_2+\frac{1}{3} q l^2=0$

$\Delta_1=\frac{19 q l^4}{528 E I}$（向下），$\Delta_2=-\frac{17 q l^3}{528 E I}$（逆时针）

（5）绘制弯矩图：$M=M_P+\bar{M}_1 \Delta_1+\bar{M}_2 \Delta_2$