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一、基本原理
力矩分配法是以位移法为基础的渐近计算方法，主要用于连续梁和无侧移刚架的内力计算。
适用情形：位移法基本未知量只有角位移（只加刚臂）的情况。当位移法基本体系中约束无穷刚杆线位移的附加链杆支座可换成附加刚臂，且将其替换后基本未知量均为角位移时可采用力矩分配法进行计算。
单节点力矩分配原理
根据位移法可知，图1所示两跨超静定梁的弯矩图可由$M^F$和$M^{\varDelta}$两部分叠加组成。
其中$M^F$及$F_{1P}$可根据载常数表计算：
B结点转角位移引起的弯矩$M^{\varDelta}$可由位移法计算：
$$k_{11}\varDelta_1+F_{1P}=0$$$$M^{\varDelta}=\bar{M}_1\varDelta _1$$
联立以上两式可得：
$$M^{\varDelta}=\bar{M}_1\frac{-F_{1P}}{k_{11}}=\bar{M}_1\frac{-F_{1P}}{4i_{BA}+3i_{BC}}$$$$M_{BA}^{\varDelta}=\frac{4i_{BA}}{4i_{BA}+3i_{BC}}\cdot \left( -F_{1P} \right)$$$$M_{BC}^{\varDelta}=\frac{3i_{BC}}{4i_{BA}+3i_{BC}}\cdot \left( -F_{1P} \right)$$
故无需计算结点位移$\varDelta_1$这个中间量，可直接根据结点力矩平衡和$M^{\varDelta}\propto \bar{M}_1$计算$M^{\varDelta}$。
即$M^{\varDelta}$由$\bar{M}_1$定性（各杆端弯矩间的比例关系），由$-F_{1P}$定量（将$-F_{1P}$分配给$M_{BA}$和$M_{BC}$）——变形协调条件+静力平衡条件。
综上，两跨超静定梁的弯矩图如下：
基于以上思路，当对弯矩、外力矩进行正负号约定后可将计算$M^F$和$M^{\varDelta}$杆端弯矩的过程代数化，在获得两部分杆端弯矩后叠加可得原结构的杆端弯矩（此时，每段杆均可视为简支梁，通过杆端弯矩和跨中荷载绘制各段弯矩图）。
符号约定：杆端弯矩以绕杆端顺时针为正，结点外力矩（结点转角）以顺时针为正。
将$M^F$中需要加刚臂（用于平衡结点的不平衡力矩）的结点称为分配结点。
将$M^F$中各杆端弯矩称为固端弯矩$M_{ij}^{F}$。
$$M_{AB}^{F}=-64\mathrm{kN·m}，M_{BA}^{F}=64\mathrm{kN·m}，M_{BC}^{F}=-12.5\mathrm{kN·m}，M_{CB}^{F}=5\mathrm{kN·m}$$
将$M^F$中B结点刚臂承担的力矩称为分配结点的不平衡力矩$M_{B}^{U}$。
$$M_{B}^{U}=F_{1P}=M_{BA}^{F}+M_{BC}^{F}=51.5\mathrm{kN·m}$$
将$M^{\varDelta}$中B结点的外力矩称为结点分配力矩$M_{B}^{D}$。
$$M_{B}^{D}=-M_{B}^{U}=-51.5\mathrm{kN·m}$$
将分配结点B单位转角位移下B结点所连杆件的B端弯矩（$\bar{M}_1$（形常数表））称为杆端转动刚度$S_{Bj}$。
$$S_{BA}=4i_{BA}=4i, S_{BC}=3i_{BC}=3i\,\, \left( \text{令}i=\frac{EI}{8\mathrm{m}} \right)$$
将分配结点B所连杆件的B端杆端转动刚度在B结点动刚度中的占比称为力矩分配系数$\mu_{Bj}$。
$$\mu_{BA}=\frac{S_{BA}}{S_{BA}+S_{BC}}=\frac{4}{7}, \mu_{BC}=\frac{S_{BC}}{S_{BA}+S_{BC}}=\frac{3}{7}$$
将分配结点B单位转角位移下B结点所连杆件的远端弯矩与B端（近端）弯矩（$\bar{M}_1$（形常数表））的比值称为传递系数$C_{Bj}$。
$$C_{BA}=\frac{\bar{M}_{1AB}}{\bar{M}_{1BA}}=\frac{2i}{4i}=0.5, C_{BC}=\frac{\bar{M}_{1CB}}{\bar{M}_{1BC}}=\frac{0}{3i}=0$$
将B结点分配力矩按照力矩分配系数分配给B结点所连杆件的B端（根据结点力矩平衡条件及变形协调条件），各杆在B端分配得到的弯矩称为杆端分配所得力矩$M_{Bi}^{D}$。
$$M_{BA}^{D}=\mu_{BA}\cdot M_{B}^{D}=\frac{4}{7}\times \left( -51.5 \right) =-29.43\mathrm{kN·m}$$$$M_{BC}^{D}=\mu_{BC}\cdot M_{B}^{D}=\frac{3}{7}\times \left( -51.5 \right) =-22.07\mathrm{kN·m}$$
将各杆在B端的杆端分配所得力矩按照传递系数的比例向另一端（远端）传递，各杆在远端得到的弯矩称为杆端传递所得力矩$M_{iB}^{C}$。
$$M_{AB}^{C}=C_{BA}\cdot M_{BA}^{D}=0.5\times \left( -29.43 \right) =-14.72\mathrm{kN·m}$$$$M_{CB}^{C}=C_{BC}\cdot M_{BC}^{D}=0\times \left( -22.07 \right) =0\mathrm{kN·m}$$
将各杆件的杆端固端弯矩和分配所得力矩或传递所得力矩相加得到总杆端弯矩。
$$M_{AB}=-64-14.72=-78.72\mathrm{kN·m}$$$$M_{BA}=64-29.43=34.57\mathrm{kN·m}$$$$M_{BC}=-12.5-22.07=-34.57\mathrm{kN·m}$$$$M_{CB}=5+0=5\mathrm{kN·m}$$
绘制结构弯矩图：各杆两端弯矩已知（总杆端弯矩），可按简支梁叠加跨中荷载产生的弯矩图。
多结点力矩分配原理
以图8所示多跨超静定梁为例说明多结点力矩分配法的基本原理：
首先，根据位移法可知结构的弯矩图可由$M^F$和$M^{\varDelta}$两部分叠加组成。
$$M=M^F+M^{\varDelta}$$
当B结点和C结点同时（释放）发生结点位移时BC杆两端的转动刚度（传递系数）无法确定（取决于B结点和C结点转动位移的比例），因此无法直接利用力矩分配法计算$M^{\varDelta}$；为此可以先固定结点C，释放结点B（消除B结点的不平衡力矩），此时B结点所连杆件的转动刚度（传递系数）是确定的，可按单结点力矩分配法快速计算。（图9）
$$M^{\varDelta}=M^{\varDelta _1}+M^{\varDelta _2}$$
同理，$M^{\varDelta _2}$的计算也无法直接计算，释放结点C（消除C结点的不平衡力矩）时需先固定结点B。（图10）
$$M^{\varDelta_2}=M^{\varDelta _3}+M^{\varDelta _4}$$
同理，$M^{\varDelta _4}$的计算也无法直接计算，释放结点B（消除B结点的不平衡力矩）时需先固定结点C。（图11）
$$M^{\varDelta_4}=M^{\varDelta _5}+M^{\varDelta _6}$$
同理，$M^{\varDelta _6}$的计算也无法直接计算，释放结点C（消除C结点的不平衡力矩）时需先固定结点B。（图12）
$$M^{\varDelta_6}=M^{\varDelta _7}+M^{\varDelta _8}$$
第一轮力矩分配传递完成后，第二轮力矩分配传递时分配结点的不平衡力矩为传递力矩（如图11、图12），由于分配系数<1、传递系数绝对值≤1；因此往后各轮力矩分配传递时分配结点的不平衡力矩均小于上一轮（如第三轮B结点的不平衡力矩为第二轮B结点的不平衡力矩的1/16），因此理论上可以如此循环下去直到收敛于精确结果。
$$M_{B}^{U_4}=\mu_{BC}\cdot M_{B}^{U_2}\cdot C_{BC}\cdot \mu_{CB}\cdot C_{CB}=\frac{1}{16}M_{B}^{U_2}$$$$M^{\varDelta}=M^{\varDelta _1}+M^{\varDelta _3}+M^{\varDelta _5}+M^{\varDelta _7}+\cdots$$
图12所示的第四次（第二轮）分配传递完成后，B结点的不平衡力矩已经足够小了，当可以忽略不计时，循环结束；叠加固端弯矩和各轮的分配与传递弯矩后得到原结构杆端总弯矩的近似计算结果（为了形式上保证近似计算结果满足静力平衡条件，最后一次分配完成后不往相连分配结点传递力矩）。
$M\approx M^F+M^{\varDelta _1}+M^{\varDelta _3}+M^{\varDelta _5}+M^{\varDelta _7}$
绘制结构弯矩图：各杆两端弯矩已知（总杆端弯矩），可按简支梁叠加跨中荷载产生的弯矩图。
由多结点转角位移相互耦合时其共同引起的弯矩无法像单结点转角位移引起的弯矩那样可以一次性计算，因此需要将多结点一次性的转角位移转化为系列单结点转角位移的叠加，这样每次单结点转角位移引起的弯矩图可由单结点力矩分配法快速计算。
拓展：多结点力矩分配法的数学本质为采用迭代法求解位移法方程组。
当采用位移法计算图8所示超静定结构时，位移法方程为：（结点角位移以顺时针为正，令EI/1m=1）
$\theta _B+0.25\theta _C+54=0$
$0.25\theta _B+\theta _C-25=0$
迭代公式：
$\theta _B=-0.25\theta _C-54\cdots \left( 1 \right)$
$\theta _C=0.25\theta _B-25\cdots \left( 2 \right)$
取初始值：$\theta _{B0}=0$，$\theta _{C0}=0$，并将$\theta _{C0}=0$代入（1）式得：（对应图9，$\theta_{B1}=d\theta_{B1}$）
$\theta _{B1}=-54$
然后将$\theta _{B1}=-54$代入（2）式得：（对应图9+图10，$\theta_{C1}=d\theta_{C1}$）
$\theta _{C1}=38.5$
接下来再将$\theta _{C1}=38.5$代入（1）式得：（对应图9+图10+图11，$\theta_{B2}=d\theta_{B1}+d\theta_{B2}$）
$\theta _{B2}=-63.625$
然后将$\theta _{B2}=-63.625$代入（2）式得：（对应图9+图10+图11+图12，$\theta_{C2}=d\theta_{C1}+d\theta_{C2}$）
$\theta _{C2}=40.906$
接下来再将$\theta _{C2}=40.906$代入（1）式得：
$\theta _{B3}=-64.227$
然后将$\theta _{B3}=-64.227$代入（2）式得：
$\theta _{C3}=41.057$
如此循环下去，当$d\theta_{Bn}=\left| \theta_{Bn}-\theta _{Bn-1} \right|$（或$d\theta_{Cn}=\left| \theta_{Cn}-\theta _{Cn-1} \right|$）足够小时可停止迭代计算，得到$\theta _B$和$\theta _C$足够精确的近似解：
$\theta_B\approx \theta_{Bn}$，$\theta_C\approx \theta_{Cn}$
精确解：
$\theta _B=-\frac{964}{15}=-64.2667$，$\theta _C=\frac{616}{15}=41.0667$
二、力矩分配法解题步骤
首先进行化简：包括去除静定附属部分，化简弯矩静定杆，对称性利用。
（1）确定分配结点
化简后的超静定结构采用位移法计算时需要加刚臂的结点为分配结点。
单结点分配问题：只有一个转角位移未知量或转角位移未知量之间解耦的结构，经过一轮分配、传递完成求解，即所求结果为精确解。
多结点分配问题：有多个转角位移未知量且转角位移未知量之间耦合的结构。需要将角位移分成两组（a组和b组），每组内部转角位移未知量之间是解耦的；第一轮先分配（与传递）不平衡力矩大的a组结点（此时b组结点固定），然后固定a组结点分配（与传递）b组结点；接着下一轮又是先固定b组结点分配（与传递）a组结点，然后固定a组结点分配（与传递）b组结点；如此循环，经过多轮分配与传递可以得到所需要精度的解，结果为近似解。
（2）计算各分配结点所连杆件的转动刚度S——根据位移法形常数表。
远端固定（S=4i）——分配结点转动时杆件两端无相对侧移，远端不转动。
远端铰支（S=3i）——分配结点转动时杆件两端无相对侧移，远端转动。
远端定向支座（S=i）——剪力静定杆，分配结点转动时杆件两端有相对侧移。
（3）计算各分配结点所连杆件的分配系数μ。
$\mu_ {BA}=\frac{S_{BA}}{\sum{S_{Bi}}}$，$\sum{\mu _{Bi}}=1$
（4）计算各分配结点所连杆件的传递系数C。
远端固定C=1/2；远端铰支C=0；远端定向支座C=-1。
（5）各杆件的杆端固端弯矩$M^F$——（可由位移法MP、MC、Mt或MZ图确定），注意杆端弯矩的正负号约定。
（6）力矩分配与传递
不平衡力矩：等于分配结点处所有杆端弯矩的代数和减去作用在结点处的外力矩（外力矩以顺时针为正）。
一轮分配传递结束后，不平衡力矩就是传递力矩，并且一轮分配传递后的每一轮分配都是欠分配的（即往后每一轮的分配力矩的符号相同）。
力矩分配：计算近端分配弯矩=分配力矩×分配系数（分配力矩：不平衡力矩的相反数），分配完成后在分配弯矩下划单下划线。
力矩传递：计算远端传递弯矩=分配弯矩×传递系数
注意：分配结点最后止与分配，即最后一次分配结束后分配结点之间不在进行传递（只进行向支座的传递），保证各分配结点分配完成后不存在不平衡力矩，也即分配结点止于单下划线。
（7）计算各杆件的最终杆端弯矩并绘制M图
最终杆端弯矩＝固端弯矩＋各轮分配及传递获得的弯矩
此时每个杆件均为两端弯矩已知的简支梁，根据杆端弯矩及跨中荷载按简支梁绘制各杆的弯矩，汇总后得到原结构的弯矩图。
三、荷载作用下两跨、三跨超静定梁力矩分配法Excel计算工具
荷载作用下两跨、三跨超静定梁基于规则的力矩分配法计算流程固定，可采用Excel软件编制标准化通用计算流程（如下表所示），其中将支座条件、几何条件、刚度条件和荷载条件作为可变参数，只需要将具体题目的这些参数输入后便可获得力矩分配法的计算结果。
算例1：采用力矩分配法计算图1所示结构的弯矩图（两跨超静定梁）。
答案：Excel通用计算流程
绘制弯矩图：各杆两端弯矩已知（总杆端弯矩），可按简支梁叠加跨中荷载产生的弯矩图，如图7所示。
算例2：采用力矩分配法计算图8所示结构的弯矩图（三跨超静定梁）。
答案：Excel通用计算流程
绘制弯矩图：各杆两端弯矩已知（总杆端弯矩），可按简支梁叠加跨中荷载产生的弯矩图，如图14所示。
四、力矩分配法在线计算工具
力矩分配法在线计算工具已上线，点击下方链接即可跳转使用。
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