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1.力法基本原理
在真实的多余约束力及外部作用下，力法基本结构与原超静定结构在受力、变形及位移上完全相同。由此可建立与多余约束力相对应的变形协调方程（力法方程）：基本结构沿多余约束力方向的位移=原超静定结构沿多余约束方向的位移。也可以换个表达方式：基本结构沿多余约束力方向的位移=去除的多余约束部分沿多余约束力方向的位移。
2.力法方程
力法方程等号左边为力法基本结构沿多余约束力方向的位移（可按产生位移的原因分开计算后叠加）——静定结构的位移计算；力法方程等号右边为原超静定结构沿多余约束方向的位移，可根据去除的多余约束部分计算。
由于力法基本结构的选取不唯一，不同力法基本结构所对应的力法方程的物理意义不同；因此列力法方程时应因根据具体情况具体分析。
2.1力法方程等号右边
虽然说力法方程的物理意义随着力法基本结构的变化而变化，但是去除的多余约束形式无非以下几种情况。
（1）去除刚性多余约束——力法方程等号右边=0
刚性约束是指约束两端沿约束方向无相对位移——即非弹性约束。
刚结点（固定支座）、铰结点（铰支座）、链杆结点（链杆支座）、定向连接（定向支座）提供的约束均为刚性约束。
例题1：以图1(b)为基本体系，用力法计算图1(a)所示超静定结构，并作出弯矩图。
由于解除的两个多余约束均为刚性转动约束，因此力法方程等号右边=0。
因此力法方程为：
$\delta _{11}X_1+\delta_ {12}X_2+\varDelta _{1P}=0$
$\delta _{21}X_1+\delta _{22}X_2+\varDelta _{2P}=0$
例题2：以图2(b)为基本体系，用力法计算图2(a)所示桁架的内力，已知：斜杆抗拉刚度为$\sqrt{2}EA$，其余杆件抗拉刚度均为$EA$。
由于解除的多余约束为相邻截面间的轴向刚性位移约束，因此力法方程等号右边=0。
因此力法方程为：
$\delta _{11}X_1+\varDelta _{1P}=0$
（2）去除弹性多余约束——力法方程等号右边$=-X/k$
弹性约束是指约束两端沿约束方向有相对位移，如弹簧、EA=常数的链杆（刚度$k=EA/l$）。
例题3：用力法求解图3示结构，并求解杆BD内力，其中$k=6EI/l$，$EA=EI/l^2$。
选择如图4所示体系作为力法基本体系，由于去除的多余约束均为弹性约束，因此力法方程等号右边$=-X_{i}/k$
因此力法方程为：
$\delta_{11}X_1+\delta_{12}X_2+\varDelta _{1P}=-\frac{X_1}{EA/l}$
$\delta_{21}X_1+\delta_{22}X_2+\varDelta _{2P}=-\frac{X_2}{k}$
（3）去除含固定位移的刚性多余约束——力法方程等号右边=c 或 =-c（c为固定位移量）
固定位移包括支座移动带来的刚体位移、温度变化引起的位移、制造误差引起的位移。
例题4：图5(a)所示变截面梁，在支座A、B分别有竖向位移$a$及转动位移$θ$。取5(b)所示的基本体系用力法计算结构内力。
由于去除的刚性多余约束存在刚体位移——支座位移$a$，并且支座位移$a$的方向与多余约束力$X_1$的方向相反，因此力法方程等号右边$=-a$。
因此力法方程为：
$\delta_{11}X_1+\varDelta_{1P}+\varDelta _{1C}=-a$
例题5：如图6(a)所示结构竖向杆温度下降$t℃$，采用图6(b)所示的力法基本体系计算结构的弯矩图，已知线膨胀系数为$α$。
由于去除的刚性多余约束存在温度变化引起的固定位移——收缩位移$\alpha tl$，并且收缩位移$\alpha tl$的方向与多余约束力$X_1$的方向相反，因此力法方程等号右边$=-\alpha tl$。
因此力法方程为：
$\delta_{11}X_1=-\alpha tl$
例题6：已知$EI=$常数，试用力法计算图7所示结构由于AB杆的制造误差（做短$Δ$）产生的M图。
选择如图8所示体系作为力法基本体系，由于去除的刚性多余约束存在制造误差引起的固定位移——收缩位移$Δ$，并且收缩位移$Δ$的方向与多余约束力$X_1$的方向相同，因此力法方程等号右边$=Δ$。
因此力法方程为：
$\delta_{11}X_1=\varDelta$
（4）去除含固定位移的弹性多余约束——力法方程等号右边$=c-X/k$ 或 $=-c-X/k$
例题7：图9所示平面桁架各杆长均为$l$，各杆EA相同且为常数，杆AB制作时长度短了$Δ$，现将其拉伸拼装就位，试求该杆轴力和长度。
选择如图10所示体系作为力法基本体系，由于去除的弹性多余约束存在制造误差引起的固定位移——收缩位移$Δ$，并且收缩位移$Δ$的方向与多余约束力$X_1$的方向相同；以此同时，弹性多余约束还有由多余约束力$X_{1}$引起的弹性位移——拉伸位移$X_{1}/k$，并且拉伸位移$X_{1}/k$的方向与多余约束力$X_1$的方向相反；因此力法方程等号右边$=-X_{1}/k+Δ$。
因此力法方程为：
$\delta_{11}X_1=-\frac{X_1}{EA/l}+\varDelta$
例题8：图11(a)所示结构，在均布荷载作用的同时右端支座有竖向位移$a=ql^4/\left( 8EI \right) $，已知弹簧刚度$k=EI/l^3$。取11(b)所示的基本体系用力法计算结构内力。
由于去除的弹性多余约束存在支座移动引起的固定位移——向下位移$a$，并且向下位移$a$的方向与多余约束力$X_1$的方向相反；以此同时，弹性多余约束还有由多余约束力$X_{1}$引起的弹性位移——压缩位移$X_{1}/k$，并且拉伸位移$X_{1}/k$的方向与多余约束力$X_1$的方向相反；因此力法方程等号右边$=-X_{1}/k-a$。
因此力法方程为：
$\delta_{11}X_1+\varDelta_{1P}=-X_{1}/k-a$
2.2力法方程的等号左边
力法方程的左边为力法基本结构沿多余约束力方向的位移，需要明确基本结构产生位移的原因有哪些，分开计算然后叠加。
需要注意基本结构的结构形式、杆件数量（需计算EI=常数的梁式杆、EA=常数的链杆以及弹簧的内力变形对位移的贡献）以及产生位移的原因（基本体系是否包含支座位移）。
不同基本体系的选择不仅影响力法方程的等号右边也影响力法方程的等号左边，与原超静定结构相比：
（1）去除刚性多余约束——柔度系数含所有弹性杆件变形贡献、自由项含所有外因贡献
例题1中图1(b)力法基本结构为静定刚架，包含2个梁式杆；产生位移的原因包括外荷载和2个多余约束力；因此力法方程的等号左边为：
$\delta _{11}X_1+\delta_ {12}X_2+\varDelta _{1P}=0$
$\delta _{21}X_1+\delta _{22}X_2+\varDelta _{2P}=0$
例题2中图2(b)力法基本结构为静定桁架，包含6个链杆；产生位移的原因包括外荷载和1个多余约束力；因此力法方程的等号左边为：
$\delta _{11}X_1+\varDelta _{1P}=0$
（2）去除弹性多余约束——影响柔度系数（弹性杆件数减少）
例题3中图4力法基本结构为静定刚架，包含2个梁式杆（AB和CDE）；产生位移的原因包括外荷载和2个多余约束力；因此力法方程的等号左边为：
$\delta_{11}X_1+\delta_{12}X_2+\varDelta _{1P}=-\frac{X_1}{EA/l}$
$\delta_{21}X_1+\delta_{22}X_2+\varDelta _{2P}=-\frac{X_2}{k}$
（3）去除含固定位移的刚性多余约束——影响自由项（外因减少）
例题4中图5(b)力法基本结构为静定刚架，包含2个梁式杆（AC和CB）；产生位移的原因包括外荷载、1个支座移动（$θ$）和1个多余约束力；因此力法方程的等号左边为：
$\delta_{11}X_1+\varDelta_{1P}+\varDelta _{1C}=-a$
例题5中图6(b)力法基本结构为静定刚架，包含1个梁式杆；产生位移的原因包括1个多余约束力；因此力法方程的等号左边为：
$\delta_{11}X_1=-\alpha tl$
例题6中图8力法基本结构为静定刚架，包含2个梁式杆；产生位移的原因包括1个多余约束力；因此力法方程的等号左边为：
$\delta_{11}X_1=\varDelta$
（4）去除含固定位移的弹性多余约束——影响柔度系数（弹性杆件数减少）和自由项（外因减少）
例题7中图10力法基本结构为静定桁架，包含11个链杆；产生位移的原因包括1个多余约束力；因此力法方程的等号左边为：
$\delta_{11}X_1=-\frac{X_1}{EA/l}+\varDelta$
例题8中图11(b)力法基本结构为静定刚架，包含1个梁式杆；产生位移的原因包括外荷载和1个多余约束力；因此力法方程的等号左边为：
$\delta_{11}X_1+\varDelta_{1P}=-X_{1}/k-a$
3.力法基本解题流程
（1）力法基本体系
确定超静定次数，去除多余约束，代以相应的未知多余约束力$X$，得到力法基本体系。
一般情况下去除所有多余约束力（不唯一），以静定结构作为力法基本结构；仅在少数特殊结构中或采用混合法（力法位移法混合）时可选择去除部分多余约束了。
几何组成简单的静定结构，其内力计算和位移计算也简单；因此，在一般情况下为了使力法方程的柔度系数和自由项计算简便，应尽可能选择几何组成简单的结构作为力法基本结构。
基本原则：
（1）几何组成尽可能简单，避免三刚片规则和冗长的传力路径（基本部分、附属部分、再附属部分……）
选择题：图示超静定刚架用力法计算时，计算最简单的基本体系为图（ C ）
（2）均布荷载两端尽可能通过去除两端转动多余约束变为铰结点（$M_P$图为标准抛物线，方便位移计算是图乘法运算）
选择题：图示超静定多跨梁用力法计算时，计算最简单的基本体系为图（ B ）
（3）超静定梁和刚架尽可能选择转动约束作为多余约束（如刚结点解除转动多余约束变铰结点），一方面所求多余约束力即为最终的杆端弯矩，另一方面可使基本结构弯矩图在释放转动约束处终止或简化传递。
选择题：图示超静定刚架用力法计算时，计算最简单的基本体系为图（ A ）
（2）力法方程
根据去除多余约束类型和力法基本体系按照2.1节和2.2节分别确定力法方程的等号右边和左边（本质是变形协调条件）。
（3）计算柔度系数和自由项
柔度系数计算需要注意基本结构的类型（如例题3超静定组合结构当选择图4基本结构时，静定基本结构为刚架）、杆件数量（如例题7超静定桁架结构当选择图10基本结构时，杆件数只有11个；而例题2超静定桁架结构当选择图2(b)基本结构时，杆件数有6个）；
自由项的计算需要注意基本体系中除多余约束力外产生位移的原因（如例题4超静定结构当选择图5(b)基本结构时，自由项包括$\varDelta_{1P}$和$\varDelta_{1C}$，其中$\varDelta_{1C}$由B支座的位移$θ$引起，与原结构A支座的位移$a$无关）；
总之，柔度系数和自由项的计算是针对基本体系的，物理意义是基本结构在单一因素（产生位移的因素看基本体系而不是原超静定结构）作用下的位移。
柔度系数和自由项定性检验：量纲校核
（4）解力法方程
解力法方程（组），得多余约束力。
（5）绘制超静定结构内力图
采用叠加法绘制已知多余约束力及其它外因共同作用下基本结构的内力图，即原超静定结构的内力图。
力法基本结构为静定结构（一般情况）：
$M=M_P+\sum{\bar{M}_iX_i}$
$F_N=F_{NP}+\sum{\bar{F}_{Ni}X_i}$
力法基本结构为超静定结构：
$M=M_P+M_C+M_t+M_Z+\sum{\bar{M}_iX_i}$
$F_N=F_{NP}+F_{NC}+F_{Nt}+F_{NZ}+\sum{\bar{F}_{Ni}X_i}$
4.典型例题详解
例题1：以图15(b)为基本体系，用力法计算图15(a)所示超静定结构，并作出弯矩图。
（1）力法基本体系：如图15(b)所示
（2）力法方程
$\delta _{11}X_1+\delta_ {12}X_2+\varDelta _{1P}=0$
$\delta _{21}X_1+\delta _{22}X_2+\varDelta _{2P}=0$
（3）计算柔度系数与自由项
$\delta _{11}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_1\bar{M}_1}{EI}}}ds=\frac{l}{6EI}\left( 2\times 1\times 1 \right) +\frac{l}{6\times 2EI}\left( 2\times 1\times 1 \right) =\frac{l}{2EI}$
$\delta_{12}=\delta_{21}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_1\bar{M}_2}{EI}}}ds=\frac{l}{6EI}\left( 1\times 1 \right) =\frac{l}{6EI}$
$\delta _{22}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_2\bar{M}_2}{EI}}}ds=\frac{l}{6EI}\left( 2\times 1\times 1 \right) =\frac{l}{3EI}$
$\varDelta _{1P}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_1M_P}{EI}}}ds=\frac{1}{2EI}\left( \frac{2}{3}\times l\times \frac{ql^2}{8}\times \frac{1}{2} \right) =\frac{ql^3}{48EI}$
$\varDelta _{2P}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_2M_P}{EI}}}ds=0$
（4）解力法方程
$\frac{l}{2EI}X_1+\frac{l}{6EI}X_2+\frac{ql^3}{48EI}=0$
$\frac{l}{6EI}X_1+\frac{l}{3EI}X_2=0$
$X_1=-\frac{ql^2}{20}$（外侧受拉），$X_2=\frac{ql^2}{40}$（右侧受拉）
（5）绘制弯矩图
$M=M_P+\bar{M}_1X_1+\bar{M}_2X_2$
例题2：以图18(b)为基本体系，用力法计算图18(a)所示桁架的内力，已知：斜杆抗拉刚度为$\sqrt{2}EA$，其余杆件抗拉刚度均为$EA$。
（1）力法基本体系：如图18(b)所示
（2）力法方程
$\delta _{11}X_1+\varDelta _{1P}=0$
（3）计算柔度系数与自由项
$\delta_{11}=\sum{\frac{\bar{F}_{N1}\bar{F}_{N1}l}{EA}}=\frac{1\times 1\times a}{EA}\times 4+\frac{\left( -\sqrt{2} \right) \times \left( -\sqrt{2} \right) \times \sqrt{2}a}{\sqrt{2}EA}\times 2=\frac{8a}{EA}$
$\varDelta_{1P}=\sum{\frac{\bar{F}_{N1}F_{NP}l}{EA}}=\frac{1\times \left( -P \right) \times a}{EA}=-\frac{Pa}{EA}$
（4）解力法方程
$X_1=-\frac{\varDelta_{1P}}{\delta_{11}}=\frac{P}{8}$（拉力）
（5）绘制轴力图
$F_N=F_{NP}+\bar{F}_{N1}X_1$
例题3：用力法求解图21示结构，并求解杆BD内力，其中$k=6EI/l$，$EA=EI/l^2$。
（1）力法基本体系：如图22所示
（2）力法方程
$\delta_{11}X_1+\delta_{12}X_2+\varDelta _{1P}=-\frac{X_1}{EA/l}$
$\delta_{21}X_1+\delta_{22}X_2+\varDelta _{2P}=-\frac{X_2}{k}$
（3）计算柔度系数与自由项
$\delta _{11}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_1\bar{M}_1}{EI}}}ds=\frac{l}{6EI}\left( 2\times l\times l \right) +\frac{l}{6EI}\left( 2\times \frac{l}{2}\times \frac{l}{2} \right) \times 2=\frac{l^3}{2EI}$
$\delta_{12}=\delta_{21}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_1\bar{M}_2}{EI}}}ds=\frac{1}{EI}\left( \frac{1}{2}\times 2l\times \frac{l}{2}\times \frac{1}{2} \right) =\frac{l^2}{4EI}$
$\delta _{22}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_2\bar{M}_2}{EI}}}ds=\frac{2l}{6EI}\left( 2\times 1\times 1 \right) =\frac{2l}{3EI}$
$\varDelta _{1P}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_1M_P}{EI}}}ds=\frac{1}{EI}\left( \frac{1}{3}\times l\times \frac{ql^2}{2}\times \frac{3l}{4} \right) =\frac{ql^4}{8EI}$
$\varDelta _{2P}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_2M_P}{EI}}}ds=0$
（4）解力法方程
$\frac{l^3}{2EI}X_1+\frac{l^2}{4EI}X_2+\frac{ql^4}{8EI}=-\frac{l^3X_1}{EI}$
$\frac{l^2}{4EI}X_1+\frac{2l}{3EI}X_2=-\frac{lX_2}{6EI}$
$X_1=-\frac{5ql}{57}$（压力）；$X_2=\frac{ql^2}{38}$（上侧受拉）
（5）绘制内力图
$F_{NBD}=X_1=-\frac{5ql}{57}$（压力）
$M=M_P+\bar{M}_1X_1+\bar{M}_2X_2$
例题4：图25(a)所示变截面梁，在支座A、B分别有竖向位移$a=\frac{Pl^3}{48EI}$及转动位移$\theta =\frac{Pl^2}{16EI}$。取25(b)所示的基本体系用力法计算结构内力。
（1）力法基本体系：如图25(b)所示
（2）力法方程
$\delta_{11}X_1+\varDelta_{1P}+\varDelta _{1C}=-a$
（3）计算柔度系数与自由项
$\delta _{11}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_1\bar{M}_1}{EI}}}ds=\frac{l/2}{6EI}\left( 2\times \frac{l}{2}\times \frac{l}{2} \right) +\frac{l/2}{6\times 2EI}\left( 2\times \frac{l}{2}\times \frac{l}{2}+2\times l\times l+l\times \frac{l}{2}\times 2 \right) =\frac{3l^3}{16EI}$
$\varDelta_{1C}=-\sum{\bar{R}_{i1}}c_i=-\left( -l\times \theta \right) =\frac{Pl^3}{16EI}$
（4）解力法方程
$\frac{3l^3}{16EI}X_1-\frac{5Pl^3}{96EI}+\frac{Pl^3}{16EI}=-\frac{Pl^3}{48EI}$
$X_1=-\frac{P}{6}$（向下）
（5）绘制弯矩图
$M=M_{P}+\bar{M}_{1}X_1$
例题5：如图28(a)所示结构竖向杆温度下降$t℃$，采用图28(b)所示的力法基本体系计算结构的弯矩图，已知线膨胀系数为$α$。
（1）力法基本体系：如图28(b)所示
（2）力法方程
$\delta_{11}X_1=-\alpha tl$
（3）计算柔度系数
$\delta _{11}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_1\bar{M}_1}{EI}}}ds=\frac{2l}{6EI}\left( 2\times 2l\times 2l \right) =\frac{8l^3}{3EI}$
（4）解力法方程
$X_1=\frac{-\alpha tl}{\delta _{11}}=-\frac{3\alpha tEI}{8l^2}$（向下）
（5）绘制弯矩图
$M=\bar{M}_{1}X_1$
例题6：已知$EI=$常数，试用力法计算图31所示结构由于AB杆的制造误差（做短$Δ$）产生的M图。
（1）力法基本体系：如图32所示
（2）力法方程
$\delta_{11}X_1=\varDelta$
（3）计算柔度系数
$\delta _{11}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_1\bar{M}_1}{EI}}}ds=\frac{a}{6EI}\left( 2\times a\times a \right) =\frac{a^3}{3EI}$
（4）解力法方程
$X_1=\frac{\varDelta}{\delta _{11}}=\frac{3EI\varDelta}{a^3}$（向下）
（5）绘制弯矩图
$M=\bar{M}_{1}X_1$
例题7：图35所示平面桁架各杆长均为$l$，各杆EA相同且为常数，杆AB制作时长度短了$Δ$，现将其拉伸拼装就位，试求该杆轴力和长度。
（1）力法基本体系：如图36所示
（2）力法方程：
$\delta_{11}X_1=-\frac{X_1}{EA/l}+\varDelta$
（3）计算柔度系数
$\delta_{11}=\sum{\frac{\bar{F}_{N1}\bar{F}_{N1}l}{EA}}=\frac{1\times 1\times l}{EA}\times 5+\frac{\left( -1 \right) \times \left( -1 \right) \times l}{EA}\times 6=\frac{11l}{EA}$
（4）解力法方程
$\frac{11l}{EA}X_1=-\frac{X_1}{EA/l}+\varDelta $
$X_1=\frac{EA}{12l}\varDelta $（拉力）
（5）计算AB杆轴力和长度
$F_{NAB}=X_1=\frac{EA}{12l}\varDelta $（拉力）
$l_{AB}=l-\varDelta +\frac{F_{NAB}l}{EA}=l-\frac{11}{12}\varDelta $
例题8：图38(a)所示结构，在均布荷载作用的同时右端支座有竖向位移$a=ql^4/\left( 8EI \right) $，已知弹簧刚度$k=EI/l^3$。取38(b)所示的基本体系用力法计算结构内力。
（1）力法基本体系：如图38(b)所示
（2）力法方程：
$\delta_{11}X_1+\varDelta_{1P}=-X_{1}/k-a$
（3）计算柔度系数和自由项
$\delta _{11}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_1\bar{M}_1}{EI}}}ds=\frac{l}{6EI}\left( 2\times l\times l \right) =\frac{l^3}{3EI}$
$\varDelta _{1P}=\sum{\int{\frac{\bar{M}_1M_P}{EI}}}ds=-\frac{1}{EI}\left( \frac{1}{3}\times l\times \frac{ql^2}{2}\times \frac{3l}{4} \right) =-\frac{ql^4}{8EI}$
（4）解力法方程
$\frac{l^3}{3EI}X_1-\frac{ql^4}{8EI}=-\frac{l^3}{EI}X_1-\frac{ql^4}{8EI}$
$X_1=0$
（5）绘制弯矩图
$M=M_{P}+\bar{M}_{1}X_1$
Note：为加深理解建议对同一试题选择不同基本体系进行求解并对比计算过程的差异。请在理解的基础上灵活变通，切勿照本宣科、生搬硬套。
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