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一、刚体体系的虚功原理
刚体体系的虚功原理：作用于刚体质点系上的任意平衡力系在任意满足几何条件的虚位移上所作的总虚功等于零。
$\sum_{i=1}^n\left(F_{ix}\delta x_i+F_{iy}\delta y_i+F_{iz}\delta z_i\right)=0$
二、变形体体系的虚功原理
由刚体体系的虚功原理推导变形体体系的虚功原理：以轴向受力体系为例
将长度为l的轴向向受力体系分成n段，并沿轴线方向建立坐标系，如图1所示。
符号规定：轴力受拉为正，轴向变形以拉伸为正，位移、外力方向与坐标系正方向一致为正。
位移状态：满足几何条件
变形体体系发生图2所示的变形体位移状态，其中第i段中心的轴向位移为$\Delta_{i}$，轴向变形为$\delta_{i}$；将变形体各段的变形释放后可得到图2所示刚体位移状态（刚体位移状态中各段的中心与变形体位移状态相同），其中第j段与第i段的刚体位移差为$\delta_{ij}$，$\delta_{ij}=\Delta_{j}-\Delta_{i}$。
力状态：满足平衡条件
轴向受力体系如图3所示，第i段中心所受的轴向外力为$P_{1}$，第i段与第j段的相互作用力（轴力）为$F_{Nij}$。
力状态外力在刚体位移状态做虚功：由刚体体系的虚功原理可知，图3所示力状态在图2所示刚体位移状态做的总虚功等于零（注意，对离散刚体体系而言力状态中的$F_{N}$为外力）。
$\sum F_i\delta_i=0$
$\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n}P_{i}\Delta_{i}\operatorname{-}\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n\operatorname{-}1}F_{Nij}\delta_{ij}=0$ （其中$j=i+1$）
$\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n}P_{i}\Delta_{i}-\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n\operatorname{-}1}F_{Nij}(\Delta_{j}-\Delta_{i})=0$………….(1)
力状态内力在变形位移状态做虚功：图3所示力状态中的内力$F_{Nij}$成对出现，大小相等方向相反。由于图2所示变形体位移状态中第i段与第j段位移连续，故这一对$F_{Nij}$在图2所示变形体位移状态做的总虚功等于零。
$F_{N{12}}(\Delta_{1}+\delta_{1}/2)+\sum_{{i\operatorname{=}2}}^{n-1}\left[-F_{Nhi}\left(\Delta_{i}-\delta_{i}/2\right)+F_{Nij}\left(\Delta_{i}+\delta_{i}/2\right)\right]-F_{{N(n\operatorname{-}1)n}}\left(\Delta_{n}\operatorname{-}\delta_{n}/2\right)=0$ （其中$h=i-1$）
$F_{N12}\Delta_{1}+\sum_{{i\operatorname{=}2}}^{n-1}(-F_{Nhi}\Delta_{i}+F_{Nij}\Delta_{i})-F_{N(n\operatorname{-}1)n}\Delta_{n}+F_{N12}\delta_{1}/2+\sum_{{i\operatorname{=}2}}^{n\operatorname{-}1}(F_{Nhi}\delta_{i}/2+F_{Nij}\delta_{i}/2)+F_{N(n\operatorname{-}1)n}\delta_{n}/2=0$
其中：
$F_{N12}\Delta_{1}+\sum_{{i\operatorname{=}2}}^{n\operatorname{-}1}(-F_{Nhi}\Delta_{i}+F_{Nij}\Delta_{i})-F_{N(n\operatorname{-}1)n}\Delta_{n}=-\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n\operatorname{-}1}F_{Nij}(\Delta_{j}-\Delta_{i})$
设第i段的平均轴力为$F_{Ni}$，$F_{Nhi}=F_{Ni}-dF_{Ni}/2$，$F_{Nij}=F_{Ni}+dF_{Ni}/2$。
$F_{N12}\delta_1/2+\sum_{i=2}^{n-1}(F_{Nhi}\delta_i/2+F_{Nij}\delta_i/2)+F_{N(n-1)n}\delta_n/2\approx F_{N1}\delta_1/2+\sum_{i=2}^{n-1}(F_{Ni}\delta_i)+F_{Nn}\delta_n/2\approx\sum_{i=1}^{n}(F_{Ni}\delta_i)$
化简后得：
$-\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{{n\operatorname{-}1}}F_{Nij}\left(\Delta_{j}-\Delta_{i}\right)+\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n}\left(F_{Ni}\delta_{i}\right)=0$………….(2)
联立方程（1）和（2）可得：
$\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n}P_{i}\Delta_{i}=\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n}(F_{Ni}\delta_{i})$
将内力虚功连续化后可得：
$\sum_{i\operatorname{=}1}^nP_i\Delta_i=\int_0^lF_N\left(x\right)du\left(x\right)=\int_0^lF_N\left(x\right)\varepsilon(x)ds$
推广：
$\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n}P_{i}\Delta_{i}=\sum\int F_{N}du+\sum\int F_{S}dv++\sum\int Md\varphi=\sum\int F_{N}\varepsilon ds+\sum\int F_{S}\gamma ds++\sum\int M\kappa ds$
上式即为变形体体系的虚功原理的一般表达式，其中等号左边为外力虚功$W_{ex}$，等号右边为内力虚功$W_{in}$。
变形体体系的虚功原理：作用于变形体体系上的任意平衡外力系在任意满足几何条件的虚位移上所作的总外力虚功等于外力引起的内力在虚变形上所作的总内力虚功。
三、线弹性结构位移计算方法——单位荷载法
位移状态：结构的任意实际位移状态均为可能虚位移状态，因此可将实际位移状态作为虚位移状态。注意：当实际位移状态包含支座移动时，变形体体系应将对应支座需去除以保证位移状态满足几何条件。
由于实际位移状态的位移Δ未知（位移状态变形已知、支座位移已知），因此可虚设一个已知的力状态，并通过变形体体系的虚功原理（方程）计算位移状态的未知位移Δ。
虚设力状态：根据待求位移Δ确定虚设外力P。注意：当实际位移状态包含支座移动$c_{i}$时，对应支座反力$R_{i}$为外力。
变形体体系的虚功方程
$P\Delta+\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n}R_{i}c_{i}=\sum\int F_{N}\varepsilon ds+\sum\int F_{S}\gamma ds\mathrm{~}++\sum\int M\kappa ds$
为了简化计算将虚设外力P取为单位1（虚设外力所做虚功等于待求位移），化简可得：
$\Delta=\sum\int\bar{F}_{N}\varepsilon ds+\sum\int\bar{F}_{S}\gamma ds++\sum\int\bar{M}\kappa ds-\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n}\bar{R}_{i}c_{i}$
引入线弹性内力变形方程、线性热胀冷缩变形方程、制造误差变形后可得：
$\Delta=\sum\left[\int\bar{F}_{N}\left(\frac{F_{N}}{EA}+\alpha t_{0}+\varepsilon_{0}\right)ds+\frac{\bar{F}_{N}F_{N}}{k}\right]+\sum\int\bar{F}_{S}\left(k\frac{F_{S}}{GA}\right)ds+\sum\left[\int\bar{M}\left(\frac{M}{EI}+\frac{\alpha\Delta t}{h}+\kappa_{0}\right)ds+\frac{\bar{M}M}{k_{\theta}}\right]-\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n}\bar{R}_{i}c_{i}$
进一步化简：对于杆系结构由剪力引起的剪切变形对位移的贡献可忽略不计。
$\Delta=\sum\left[\int\bar{F}_{N}\left(\frac{F_{N}}{EA}+\alpha t_{0}+\varepsilon_{0}\right)ds+\frac{\bar{F}_{N}F_{N}}{k}\right]+\sum\left[\int\bar{M}\left(\frac{M}{EI}+\frac{\alpha\Delta t}{h}+\kappa_{0}\right)ds+\frac{\bar{M}M}{k_{\theta}}\right]-\sum_{{i\operatorname{=}1}}^{n}\bar{R}_{i}c_{i}$
根据产生位移的原因分组，改写上式得线弹性杆系结构的位移计算一般公式：
$\Delta=\sum\int\left(\frac{\bar{F}_{N}F_{N}}{EA}\right)ds+\sum\frac{\bar{F}_{N}F_{N}}{k}+\sum\int\left(\frac{\bar{MM}}{EI}\right)ds+\sum\frac{\bar{MM}}{k_{\theta}}+\sum\int\alpha t_{0}\bar{F}_{N}ds+\sum\int\frac{\alpha\Delta t}{h}\bar{M}ds+\sum\int\varepsilon_{0}\bar{F}_{N}ds+\sum\int\kappa_{0}\bar{M}ds-\sum_{i=1}^{n}\bar{R}_{i}c_{i}$
当轴力、温变、制造误差沿杆件轴线不变时，上式可进一步化简：
$\Delta=\sum_{i}\frac{\bar{F}_{N}F_{N}l}{EA}+\sum_{j}\frac{\bar{F}_{N}F_{N}}{k}+\sum_{p}\int\left(\frac{\overline{M}M}{EI}\right)ds+\sum_{q}\frac{\overline{M}M}{k_{\theta}}+\sum\alpha t_{0}A_{{\bar{F}_{N}}}+\sum\frac{\alpha\Delta t}{h}A_{{\bar{M}}}+\sum\varepsilon_{0}A_{{\bar{F}_{N}}}+\sum\kappa_{0}A_{{\bar{M}}}-\sum_{i=1}^{n}\bar{R}_{i}c_{i}$
其中：i为直链杆（轴力较大的拱）、j为线弹簧、p为梁式受弯杆（弯矩较大的拱）、q为角弹簧。
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