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一、三铰拱的类型
三铰拱根据拱趾线是否水平分可为三铰平拱和三铰非平拱（针对竖向荷载而言）。
竖向荷载作用将使三铰拱的拱脚产生水平推力，水平推力也可由自平衡拉杆承担——简支拉杆拱。
三铰拱的矢高$f$为中间铰结点C距离拱趾线的竖向距离。
二、合理拱轴线及其性质
1、合理拱轴线的定义
在固定荷载作用下使拱处于无弯矩状态（拱内力只有轴力）的轴线称为合理拱轴线。
2、竖向荷载作用下三铰平拱的合理拱轴线特性
利用等代简支梁推导竖向荷载作用下三铰平拱的合理拱轴线方程。
通过取上部隔离体对A或B结点取矩平衡可得，三铰平拱与其等代简支梁的竖向支座反力相对。
$R_{Ay}=R_{Ay}^{0}$
$R_{By}=R_{By}^{0}$
再分别取AC隔离体对C点取矩平衡可得：
$R_{Ay}\cdot x_C-M_{P,C}^{L}-H\cdot f=0$
$R_{Ay}^{0}\cdot x_C-M_{P,C}^{L}=M_{C}^{0}$
其中：$M_{P,C}^{L}$为AC跨外荷载对C点的力矩（顺时针为正），$M_{C}^{0}$为等代简支梁C点的弯矩（下侧受拉为正）。
联立上式可得竖向荷载作用下三铰平拱的水平推力$H$为：
$H=\frac{M_{C}^{0}}{f}$
根据合理拱轴线的定义，即三铰拱任意截面的弯矩为零，确定距离三铰拱A点水平距离为$x$的K截面的竖向高度$y$。分别取AK隔离体后对K点取矩平衡可得：
$R_{Ay}\cdot x-M_{P,x}^{L}-H\cdot y=M_x=0$
$R_{Ay}^{0}\cdot x-M_{P,x}^{L}=M_{x}^{0}$
联立上式可得竖向荷载作用下三铰平拱的任意位置的竖向高度$y$，即合理拱轴线方程：
$y=\frac{R_{Ay}\cdot x-M_{P,x}^{L}}{H}=\frac{M_{x}^{0}}{H}=\frac{M_{x}^{0}}{M_{C}^{0}}f$
结论：
（1）竖向荷载作用下三铰平拱的合理拱轴线与等代简支梁弯矩图形状相似（简支梁受拉侧弯矩图倒置），可通过等代简支梁的弯矩方程计算合理拱轴线方程。
（2）竖向荷载等比例的缩放$M_{x}^{0}$和$M_{C}^{0}$也同比例缩放，即合理拱轴线仅与荷载分布模式有关，与荷载的绝对大小无关。
（3）典型竖向荷载作用下三铰平拱合理拱轴线的形式可由等代简支梁$M_{x}^{0}$的形状确定。
| 区段竖向荷载形式 | 无荷载作用 | 竖向均布荷载作用 | 竖向线性分布荷载作用 | 竖向填土压力作用 |
| 等代简支梁弯矩图形状 | 直线 | 二抛物线 | 三次抛物线 | 悬链线 |
| 合理拱轴线形式 | 直线 | 二次抛物线 | 三次抛物线 | 悬链线 |
3、竖向荷载作用下三铰非平拱的合理拱轴线特性
当拱轴线为合理拱轴线时，拱轴线任意截面均无弯矩，因此拱轴线上的任意刚结点均可改为铰结点；基于此，在满足合理拱轴线的三铰拱中任意插入三个新铰后得到的局部三铰拱依然是满足合理拱轴线的三铰拱。
因此任何一个竖向荷载作用下具有合理拱轴线的三铰非平拱均可视为某三铰平拱的一个局部。故虽然竖向荷载作用下的三铰非平拱无法利用等代简支梁计算合理拱轴线（竖向支座反力不再与等代简支梁相同），但是竖向荷载作用下三铰非平拱的合理拱轴线形式与竖向荷载的关系相同三铰平拱。
此外，我们还可以通过沿着高拱趾铰支座支反力合力方向延长拱轴线使高拱趾铰支座降到与低拱趾铰支座等高，即将三铰非平拱转化为三铰平拱，进而可利用等代简支梁的弯矩方程计算合理拱轴线方程。
4、静力等效对合理拱轴线的影响
根据静定结构的内力特征可知作用于三铰拱几何不变部分或几何不变方向的一组荷载按静力等效替换为另一组荷载后仅改变荷载等效部分的结构内力（或约束力），不改变其他部分的内力（或约束力）。因此，静力等效仅改变三铰拱等效部分的合理拱轴线不改变其他部分的合理拱轴线。
三铰拱在均布荷载$q$及集中力$F$共同作用下的合理拱轴线如图12所示，将均布荷载$q$静力等效为集中力$qa$后三铰拱的合理拱轴线如图13所示，两者合理拱轴线的差异仅在均布荷载作用范围。
三、三铰拱合理拱轴线方程的计算
1、基于定义的直接法
任意荷载（竖向荷载或水平荷载）作用下的三铰拱（平拱或非平拱）的合理拱轴线均可利用合理拱轴线定义直接计算，即直接根据三铰拱任意截面的弯矩为零的平衡方程计算合理拱轴线方程。
直接法计算合理拱轴线的一般流程：
（1）计算支座反力（同三铰刚架）；
（2）（建立坐标系，）截面法取横坐标为$x$的一侧为隔离体，列平衡方程计算合理拱轴线方程。
注意：非满跨单一分布荷载作用时三铰拱的合理拱轴线通常是分段函数，拱趾点、集中力作用点、分布荷载的起止点、集中力矩作用点的左右均为分段点，相邻分段点间为一条合理拱轴线方程，与之对应的是一种隔离体荷载形式。
例题1：图示三铰拱，已知荷载的数值、位置以及C铰的位置，求合理拱轴线方程。
答案：
（1）计算支座反力
取上部整体ACB为隔离体，对B点取矩平衡可得：
$\sum{M_B=0}\,\, \Rightarrow \,\, R_{Ay}\cdot 12-20\times 9-10\times 6\times 3=0\,\, \Rightarrow \,\, R_{Ay}=30\mathrm{kN}\left( \uparrow \right)$
取AC隔离体，对C点取矩平衡可得：
$\sum{M_C=0}\,\, \Rightarrow \,\, R_{Ay}\cdot 6-H\cdot 4-20\times 3=0\,\, \Rightarrow \,\, H=30\mathrm{kN}\left( \rightarrow \gets \right) $
（2）根据荷载条件可知合理拱轴线为三段分段函数，分别取隔离体通过拱截面弯矩为零条件计算合理拱轴线。
1）AD段：$0≤x≤3$
取AK隔离体，对K点取矩平衡可得：
$\sum{M_K=0}\,\, \Rightarrow \,\, 30\cdot x-30\cdot y=0\,\, \Rightarrow \,\, y=x$
2）DC段：$3≤x≤6$
取AI隔离体，对I点取矩平衡可得：
$\sum{M_I=0}\,\, \Rightarrow \,\, 30\cdot x-30\cdot y-20\cdot \left( x-3 \right) =0\,\, \Rightarrow \,\, y=\frac{1}{3}x+2$
3）CB段：$6≤x≤12$
取AJ隔离体，对J点取矩平衡可得：
$\sum{M_J=0}\,\, \Rightarrow \,\, 30\cdot x-30\cdot y-20\cdot \left( x-3 \right) -10\cdot \left( x-6 \right) \cdot \frac{\left( x-6 \right)}{2}=0\,\, \Rightarrow \,\, y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{7}{3}x-4$
综上三铰拱的合理拱轴线为（如图18所示）：
2、基于等代简支梁弯矩方程的公式法——仅适用于竖向荷载作用下的三铰平拱
如前所述，竖向荷载作用下三铰平拱的合理拱轴线方程可由等代简支梁的弯矩方程按下式计算确定：
$y=\frac{M_{x}^{0}}{M_{C}^{0}}f$
例题1所示三铰平拱的等代简支梁及其弯矩图分别如图21和图22所示。
等代简支梁的弯矩方程：
将 $M_{C}^{0}=120$，$f=4$ 以及等代简支梁的弯矩方程代入合理拱轴线公式后可得：
拓展：加权叠加法计算合理拱轴线方程
已知竖向荷载作用下，三铰平拱的合理拱轴线为：
$y=\frac{M_{x}^{0}}{M_{C}^{0}}f$
若将竖向荷载分成两组，每组荷载单独作用下三铰平拱的合理拱轴线分别为$y_1$和$y_2$，则：
$y=\frac{y_1M_{C1}^{0}+y_2M_{C2}^{0}}{M_{C1}^{0}+M_{C2}^{0}}$
其中，$M_{C1}^{0}$和$M_{C2}^{0}$分别为第一和第二荷载组单独作用下等代简支梁C点的弯矩。
3、基于合力线的图解法
当三铰拱杆轴上任意横截面的合力沿杆轴或杆轴切线作用时三铰拱的内力只有轴力（即合力）；也即三铰拱合理拱轴线本质上也是内力的合力线。因此，从三铰拱某一铰结点出发的内力合力线即为三铰拱的合理拱轴线。
由截面隔离体平衡可知截面内力的合力等于截面一侧外力的合力。因此，无荷载作用区段合力方向不变、合理拱轴线为直线，经过集中力作用点合力方向突变、合理拱轴线方向（斜率）改变，经过集中力矩作用点合力不变合力主矩为零点突变、合理拱轴线突变（方向不变），在分布荷载作用区段（荷载方向与起（止）端合力方向不同）合力方向逐渐连续变化、合理拱轴线为曲线。
例题1所示三铰拱采用合力线图解计算合理拱轴线的过程如下：
（1）计算支座反力：如图17所示。
（2）从A铰出发逐段计算合力线
从起点沿着起点合力向量方向开始绘制直线；当遇到集中力时，合力方向改变，合力线沿着新的合力方向绘制直线；当遇到分布荷载（荷载方向与起（止）端合力方向不同）时，合力方向将随着长度的累积而逐渐改变方向，合力线沿着直线的切线过渡到曲线，在分布荷载结束位置再沿曲线的切线过渡到制直线；当遇到集中力矩时，合力方向不变，合力点（无主矩）突变。
1）从A点出发沿着支座反力合力方向绘制AD段的合力拱轴线，通过点斜式确定AD段的合理拱轴线方程
$y-0=1\times \left( x-0 \right) \,\, \Rightarrow \,\, y=x\,\, \left( 0\leqslant x\leqslant 3\mathrm{m} \right) $
2）计算合理拱轴线上D点的纵坐标，通过DC段合力方向或两点式确定DC段的合理拱轴线方程
$y_D=x_D=3\mathrm{m}$
$\frac{y-3}{x-3}=\frac{4-3}{6-3}\,\, \Rightarrow \,\, y=\frac{1}{3}x+2 \,\, \left( 3\mathrm{m}\leqslant x\leqslant 6\mathrm{m} \right) $
3）从C点出发，CB段的合力方向逐渐变化，即合理拱轴线的切线沿合力方向
$y^{\prime}=\frac{V_C-q\left( x-6 \right)}{H_C}=\frac{10-10\left( x-6 \right)}{30}=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$
积分得：
$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{7}{3}x+c$
将边界条件（C点坐标）代入上式可得：
$c=-4$
即CB段的合理拱轴线为：
$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{7}{3}x-4 \,\, \left( 6\mathrm{m}\leqslant x\leqslant 12\mathrm{m} \right) $
拓展：基于静力等效及三力汇交定理逐段确定竖向荷载作用下三铰拱的合理拱轴线——合力法。
通过静力等效可分别将作用于三铰拱AC和CB刚片上的竖向荷载等效为一个集中力$F_a$和$F_b$，同时$F_a$和$F_b$的合力为$F_合$。
接下来研究图25所示三铰拱起始段$AA_1$和终止段$B_1B$的合理拱轴线。
（1）$F_合$单独作用的合力拱轴线
当合力位于CB（位于AC侧同理）侧时，AC为二力杆，此时合理拱轴线为通过ACD的直线段（AC连线延伸至荷载作用位置D）和DB直线段，D处满足三力汇交定理（如图26所示）。
（2）在图26所示的合理拱轴线上在$A_1$和$B_1$处插入铰结点，同时取消$C$处的铰结点（如图27所示）。在此基础上将$F_合$分解为$F_a$和$F_b$（如图28所示），此时$AA_1$和$B_1B$的受力并未改变，依然为合理拱轴线，因此中间无荷载区段的合理拱轴线为直线段$A_1B_1$（如图29所示）。
虽然图29所示的拱轴线为集中力$F_a$和$F_b$作用下的一个合理拱轴线，但其未通过中间铰C点，故图29所示的合理拱轴线仍不是图25所示三铰拱的合理拱轴线。
根据前述竖向荷载作用下三铰平拱合理拱轴线与等代简支梁弯矩图（方程）的关系可知合理拱轴线与（倒置）弯矩图相似，中间铰C的矢高$f$作为合理拱轴线通过C点的一个调节系数；因此合理拱轴线上各点的纵坐标以同一比例（>0）缩放后的拱轴线依然为合理拱轴线。基于此，可通过图29所示合理拱轴线的纵坐标缩放使其通过中间铰C，得到图25所示三铰拱的合理拱轴线（如图30所示）。
根据静力等效对合理拱轴线的影响可知图24和图25所示三铰拱在$A$至起始荷载$F_1$作用位置以及终止荷载$F_4$作用位置至B段的合理拱轴线是相同的。即图31中的起始段和终止段（蓝色段）为图24所示三铰拱的合理拱轴线。
基于上述分析，可以得到如下由两端向中间逐段求解竖向荷载作用下三铰拱的合理拱轴线的方法：
1）计算三铰拱上竖向荷载的合力位置$x_D$；
$x_D=\frac{\sum{F_ix_i}+\sum{\int{qxdx}}}{\sum{F_i}+\sum{\int{qdx}}}$
2）根据二力杆及三力汇交定理绘制（计算）合力作用下三铰拱的合理拱轴线$AD$和$DB$（其中$AD$或$DB$通过$C$点）——合理拱轴线Ⅰ；
3）分别计算三铰拱AC段和CB段竖向荷载合力位置$x_a$和$x_b$，然后从步骤2）中的合理拱轴线Ⅰ中确定$x_a$和$x_b$的对应点$A_1$和$B_1$，通过$A$、$A_1$、$B_1$、$B$依次连线得到新的合理拱轴线Ⅱ，同时按合理拱轴线Ⅱ中$x_C$对应纵坐标与铰C纵坐标之比对合理拱轴线Ⅱ的纵坐标进行缩放使其通过铰C，得到合理拱轴线Ⅲ。
4）从合理拱轴线Ⅲ中左右铰支座A和B至相邻集中荷载作用位置的区段为原三铰拱的合理拱轴线；
5）从原三铰拱上去除左右合理拱轴线段，得到局部三铰拱$A^{\prime}$$C$$B^{\prime}$；
6）对步骤5）得到的局部三铰拱重复步骤1）~5），从两端向中间依次逐段绘制（计算）合理拱轴线。
注：刚片上的分布荷载、集中力矩可先等效为集中竖向力，等效处理仅影响等效段的合理拱轴线，可先按上述方法计算确定其他部分的合理拱轴线及等效段起至点的合理拱轴线位置及斜率，然后通过初参数法（分布荷载）或直线段延长（集中力矩）确定等效段的合理拱轴线方程。
例题2：运用合力法计算图示三铰拱的合理拱轴线。
a）计算三铰拱上竖向荷载的合力位置$x_D$；
$x_D=\frac{20\times 2+20\times 4+60\times 9}{20+20+60}=6.6$
b）计算$F_合$作用下三铰拱合理拱轴线Ⅰ
合理拱轴线Ⅰ如图33所示，根据几何关系可知合理拱轴线Ⅰ的方程为：
c）计算AC段和CB段合力$F_a$和$F_b$作用下三铰拱合理拱轴线Ⅱ
计算AC段合力$F_a$作用位置：
$x_a=\frac{20\times 2+20\times 4}{20+20}=3$
根据$F_a$和$F_b$作用位置从合理拱轴线Ⅰ中确定$F_a$和$F_b$作用下三铰拱合理拱轴线Ⅱ，如图34所示。
根据几何关系可知合理拱轴线Ⅱ的方程为：
对$F_a$和$F_b$作用下的三铰拱合理拱轴线Ⅱ进行纵坐标调幅（使其通通过中间铰C）得到三铰拱合理拱轴线Ⅲ，如图35所示。
计算调幅系数：
$y_{C\mathrm{II}}=\frac{20}{9}$
$k=\frac{y_C}{y_{C\mathrm{II}}}=\frac{9}{5}$
故合理拱轴线Ⅲ的方程为：
d）从$F_a$和$F_b$作用下的合理拱轴线Ⅲ中提取原三铰拱起止段的合理拱轴线，如图36所示。
e）根据三力汇交原理补全中间段的合理拱轴线（如图37所示，蓝色段）。
4、基于几何特征的初参数法——仅介绍竖向荷载作用下的三铰拱
如前所述，竖向荷载作用下三铰平拱的合理拱轴线与竖向荷载作用下等代简支梁的弯矩图相似；竖向荷载作用下具有合理拱轴线的三铰非平拱有可视为从竖向荷载作用下具有合理拱轴线的三铰平拱中截取的一个局部。因此，可根据简支梁的弯矩图形状，定性确定三铰拱的合理拱轴线形状。
| 区段竖向荷载形式 | 无荷载作用 | 竖向均布荷载作用 | 竖向线性分布荷载作用 |
| 合理拱轴线形式 | 直线 | 二次抛物线 | 三次抛物线 |
分布荷载集度与合理拱轴线曲率的关系：根据横向分布荷载作用下梁的微段平衡可知弯矩（方程）的二阶导数为荷载集度，又因为竖向荷载作用下三铰平拱合理拱轴线与等代简支梁的弯矩成正比，故合理拱轴线线上两点曲率比（合理拱轴线二次导数比）等于两点的荷载集度比。同理，此关系可推广至三铰非平拱。
初参数法计算合理拱轴线的一般流程：
（1）根据竖向荷载分布及形式确定合理拱轴线方程的分段数及每段合理拱轴线的形式；
（2）根据合理拱轴线形式假设合理拱轴线方程（含待定系数）；
（3）根据已知几何条件、荷载条件等确定假设合理拱轴线方程中的待定系数。
可利用条件包括：合理拱轴线需通过已知铰结点；无集中力作用的分段点两侧合理拱轴线切线重合；荷载集度比等于合理拱轴线曲率比；集中力（力矩）可静力等效为均布荷载，等效段的合理拱轴线可通过其均布荷载合理拱轴线（二次抛物线）的两端切线延长至集中力位置确定（如图12、图13所示）
采用初参数法求例题1图示三铰拱的合理拱轴线方程。
1）将集中力等效为均布荷载
2）确定合理拱轴线分段数及合理拱轴线形式
两段，AC段——二次抛物线，CB段——二次抛物线。
3）假设合理拱轴线方程
4）几何条件与荷载条件
$y\left| _{x=0}=0 \,\, \right. \,\, \Rightarrow \,\, c=0$
$y\left| _{x^-=6}=4 \,\, \right. \,\, \Rightarrow \,\, 36a+6b+c=4$
$y\left| _{x^+=6}=4 \,\, \right. \,\, \Rightarrow \,\, 36d+6e+f=4$
$y\left| _{x=12}=0 \,\, \right. \,\, \Rightarrow \,\, 144d+12e+f=0$
$y^{\prime}\left|_{x^-=6} \right. =y^{\prime}\left|_{x^+=6} \right. \,\, \Rightarrow \,\, 12a+b=12d+e$
$y^{\prime\prime}\left|_{x^-=6} \right. :y^{\prime\prime}\left|_{x^+=6} \,\, \right. \,\, \Rightarrow \,\, q_1:q_2\,\, \Rightarrow \,\, a:d=1/3$
5）联立4）中的6式可解得待定系数$a$~$f$
$a=-\frac{1}{18}$，$b=1$，$c=0$，$d=-\frac{1}{6}$，$e=\frac{7}{3}$，$f=-4$
故合理拱轴线为：
6）利用点斜式方程计算AD段和DC段的合理拱轴线
AD段：
$y^{\prime}\left| _{x=0} \right. =1$
$y-0=1\times \left( x-0 \right) \,\, \Rightarrow \,\, y=x\,\, \left( 0\leqslant x\leqslant 3\mathrm{m} \right) $
DC段：
$y^{\prime}\left| _{x^-=6} \right. =\frac{1}{3}$
$y-4=\frac{1}{3}\times \left( x-6 \right) \,\, \Rightarrow \,\, y=\frac{1}{3}x+2 \left( 3\mathrm{m}\leqslant x\leqslant 6\mathrm{m} \right) $
例题3：图示三铰拱，已知三个铰的位置及荷载条件，求合理拱轴线。
答案：
1）合理拱轴线形式——二次抛物线
$y=ax^2+bx+c$
2）几何条件（拱轴线经过ACB三点）
$y\left| _{x=0}=0 \,\, \right. \,\, \Rightarrow \,\, c=0$
$y\left| _{x=6l}=2l \,\, \right. \,\, \Rightarrow \,\, 36l^2a+6lb+c=2l$
$y\left| _{x=9l}=l \,\, \right. \,\, \Rightarrow \,\, 81l^2a+9lb+c=l$
3）联立2）中的3式可解得待定系数$a$~$c$
$a=-\frac{2}{27l}$，$b=\frac{7}{9}$，$c=0$
4）合理拱轴线方程
$y=-\frac{2}{27l}x^2+\frac{7}{9}x\,\, \left( 0\leqslant x\leqslant 9l \right) $
例题4：图示三铰拱，已知三个铰的位置及荷载条件，求合理拱轴线。
1）合理拱轴线形式——三次抛物线
$y=ax^3+bx^2+cx+d$
2）几何条件（拱轴线经过ACB三点）
$y\left| _{x=0}=0 \,\, \right. \,\, \Rightarrow \,\, d=0$
$y\left| _{x=4l}=3l \right. \,\, \Rightarrow \,\, 64l^3a+16l^2b+4lc+d=3l$
$y\left| _{x=8l}=0 \right. \,\, \Rightarrow \,\, 512l^3a+64l^2b+8lc+d=0$
3）荷载条件
$\frac{y^{\prime\prime}\left|_{x=0} \right.}{y^{\prime\prime}\left|_{x=8l} \right.}=\frac{q_A}{q_B}=\frac{0}{3q}\,\, \Rightarrow \,\, \frac{2b}{48la+2b}=\frac{0}{3q}$
4）联立2）~3）中的4式可解得待定系数$a$~$c$
$a=-\frac{1}{64l^2}$，$b=0$，$c=1$，$d=0$
5）合理拱轴线方程
$y=-\frac{1}{64l^2} x^3+x\,\, \left( 0\leqslant x\leqslant 8l \right) $
5、基于拉压对偶的拉力线法
通过结构倒置或荷载反向，可将具有合理拱轴线的三铰拱的压力拉力化，此时的拱结构可转化为索（膜）结构。因此求合理拱轴线（合力-压力线）问题可转化为求柔性索（膜）拉力线的问题。
已知承受均匀向外气压的柔性足球/气球/泡泡呈圆球形，即沿径向朝外的均布作用下，拉力线为圆弧线。
因此在与朝外气压荷载反向的均匀水压作用下，三铰拱的合理拱轴线为圆弧线，且轴力为常数（$F_N=-qR$，$R$为圆弧半径）。
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