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一、卡式第二定理
卡式第二定理：对于一个线弹性结构，若总应变能$U$可表示为所有外力$F_1$，$F_2$，…，$F_n$的函数，则结构在某一外力$F_i$作用点处、沿该力方向的位移$Δ_i$等于总应变能$U$对$F_i$的偏导数：
$$\Delta _i=\frac{\partial U}{\partial F_i}$$
注意：荷载$F_i$应是唯一的变量，当$F_i$为数值或表达式（如$F_i=3P$ ）时，应在偏导计算后代入$F_i$的数值或表达式。
此外：若某截面需要计算的位移无与之对应的外力作用时，可在此截面沿所求位移方向施加一个虚力$Q$，将应变能$U$表达为外力和虚力$Q$的函数，然后通过应变能$U$对$Q$求偏导后令$Q=0$计算位移 $Δ_i$：
$$\Delta _i=\left. \frac{\partial U}{\partial Q} \right|_{Q=0}$$
应变能的计算：总应变能$U$的表达式需根据构件类型分段积分求和。以弯曲梁式杆和拉压轴力杆系为例：
$$U=\sum{\int{\frac{M^2}{2EI}dx}}+\sum{\int{\frac{F_{N}^{2}}{2EA}dx}}$$
卡式第二定理位移计算一般公式：
$$\varDelta _i=\frac{\partial U}{\partial F_i}=\sum{\int{\frac{M}{EI}\frac{\partial M}{\partial F_i}dx}}+\sum{\int{\frac{F_N}{EA}\frac{\partial F_N}{\partial F_i}dx}}$$
其中：$\frac{\partial M}{\partial F_i}$和$\frac{\partial F_N}{\partial F_i}$分别为体系在$F_i=1$单独作用下的弯矩方程和轴力方程。
卡式第二定理的证明：
为了便于理解，以图1所示线弹性悬臂梁为例进行推导演示。
线弹性悬臂梁受到荷载$F_1$~$F_n$的作用而产生变形和位移，结构因荷载做功而获得应变能为：
$$U=\sum_{j=1}^n{\frac{1}{2}F_j\varDelta _j}$$
假设荷载$F_i$有一个无穷小增量$dF_i$，即线弹性悬臂梁受到荷载$F_1$~$F_i+dF_i$~$F_n$的作用而产生变形和位移，重新计算结构因荷载做功而获得应变能。
因为体系为线弹性体系，满足叠加原理，荷载做功总和与加载路径无关；因此可以将加载过程拆分为两个过程：
首先单独加载$dF_i$，此阶段结构的变形可忽略不计，荷载做功和结构应变能忽略不计。
然后再在此基础上加载$F_1$~$F_i$~$F_n$，此时结构将产生变形和位移增量（同图1），这个过程中第一阶段加载的$dF_i$为恒力做功，第二阶段加载的$F_1$~$F_i$~$F_n$为变力做功。
因此总的荷载做功，即应变能为：
$$U^{\prime}=dF_i\varDelta i+\sum_{j=1}^n{\frac{1}{2}F_j\varDelta _j}$$
根据上述分析可得荷载增量与应变能增量的关系：
$$dU=U^{\prime}-U=dF_i\varDelta _i$$
也即当以荷载为变量时：
$$\Delta _i=\frac{\partial U}{\partial F_i}$$
二、单位荷载法
基于虚功（力）原理的单位荷载法的理论基础可参考文章：“基本原理：变形体体系的虚功原理”
荷载作用下梁式杆和链杆杆系的单位荷载法位移计算一般公式：
$$\varDelta _i=\sum{\int{\frac{M}{EI}\bar{M}dx}}+\sum{\int{\frac{F_N}{EA}\bar{F}_Ndx}}$$
三、对比
卡式第二定理与单位荷载法均是基于能量原理推导的线弹性体系位移计算方法，两者位移计算的公式是一致的，数学上卡式第二定理是先积分后求偏导，单位荷载法则是先求偏导后积分（偏导结果即单位荷载作用下的$\bar{M}$、$\bar{F}_N$）。
四、算例
分别采用卡式第二定理与单位荷载法计算下图所示悬臂梁B点的竖向位移。
（1）卡式第二定理
首先建立坐标系计算弯矩方程：
$$M\left( x \right) =-F\left( l-x \right)$$
然后计算应变能：
$$U=\int{\frac{M^2}{2EI}dx}=\int_0^l{\frac{\left[ -F\left( l-x \right) \right] ^2}{2EI}dx}=\frac{F^2l^3}{6EI}$$
最后计算位移：
$$\varDelta _B=\frac{\partial U}{\partial F}=\frac{Fl^3}{3EI}$$
（2）单位荷载法
首先绘制荷载作用下的弯矩图$M$：
然后虚设单位力状态并绘制弯矩图$\bar{M}$：
最后计算位移：（卷积积分用图乘法计算）
$$\varDelta _B=\int{\frac{M\bar{M}}{EI}dx}=\frac{l}{6EI}\left( 2\times Fl\times l \right) =\frac{Fl^3}{3EI}$$
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