单自由度体系的简谐受迫振动

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一、直接动荷载与间接动荷载

直接动荷载：激励沿动力自由度方向作用于惯性质量。

间接动荷载：激励不作用于惯性质量，或激励虽用于惯性质量但激励方向与动力自由度方向不一致。

间接动荷载可等效为时变荷载加直接动荷载。

二、运动方程

根据达朗贝尔原理，引入惯性力后可将动力学问题转化为形式上的静力学问题；利用平衡条件（刚度法）或变形协调条件（柔度法）可建立惯性质量的运动方程。

刚度法：

刚度法运动方程	无阻尼	有阻尼
平衡方程（简谐激励）	$m\ddot{y}+ky=F_0\sin \theta t$	$m\ddot{y}+c\dot{y}+ky=F_0\sin \theta t$
标准形式	$\ddot{y}+\omega ^2y=\frac{F_0}{m}\sin \theta t$	$\ddot{y}+2\xi \omega \dot{y}+\omega ^2y=\frac{F_0}{m}\sin \theta t$

柔度法：

柔度法运动方程	无阻尼	有阻尼
变形协调方程（简谐激励）	$y=\delta \left( -m\ddot{y} \right) +\Delta _{F_0}\sin \theta t$	$y=\delta \left( -m\ddot{y} \right) +\delta \left( -c\dot{y} \right) +\Delta _{F_0}\sin \theta t$
标准形式	$\ddot{y}+\omega ^2y=\frac{\Delta _{F_0}}{\delta m}\sin \theta t$	$\ddot{y}+2\xi \omega \dot{y}+\omega ^2y=\frac{\Delta _{F_0}}{\delta m}\sin \theta t$

三、稳态动力响应

受迫振动分析的目的在于确定体系的稳态动力响应规律和最大值。

简谐受迫振动	无阻尼	有阻尼
稳态解	$y\left( t \right) =A_0\sin \theta t$	$y\left( t \right) =A_0\sin \left( \theta t-\varphi \right) $
振幅	$A_0=\mu y_{st}$	$A_0=\mu_d y_{st}$
动力系数	$\mu =1/\left( 1-\beta ^2 \right) $	$\mu _d=\frac{1}{\sqrt{\left( 1-\beta ^2 \right) ^2+4\xi ^2\beta ^2}}$
相位差	0 或 $180^{\circ} $ 位移与动荷载同频同相位（频率比$\beta<1$）或相位差$180^{\circ} $（频率比$\beta>1$）	$\tan \varphi =\frac{2\xi \beta}{1-\beta ^2}$ 位移与动荷载同频、相位滞后

四、幅频曲线与相频曲线

简谐激励下单自由度体系的稳态动力响应振幅（动力系数）与频率比的关系称为幅频曲线，相位差与频率比的关系称为相频曲线。

动荷载$F(t)$、弹性恢复力$F_S\left( t \right) =-ky$、阻尼力$F_D\left( t \right) =-c\dot{y}$与惯性力$F_I\left( t \right) =-m\ddot{y}$间始终保持动平衡关系。当激励频率远小于体系自振频率时，激励变化相对缓慢，通过；当激励频率接近体系自振频率时，发生共振，动力响应最显著，阻尼发挥作用；当激励频率远大于体系自振频率时，由于激励变化太快，惯性质量来不及跟着激励方向发生位移荷载就改变方向了，。

五、典型考题

1. 选择题：当结构发生共振时（考虑阻尼），结构的（    ）。（概念题）

A、动平衡条件不能满足；    B、干扰力与阻尼力平衡，惯性力与弹性力平衡；

C、干扰力与弹性力平衡，惯性力与阻尼力平衡；   D、干扰力与惯性力平衡，弹性力与阻尼力平衡。

答案：B

2. 图示结构承受简谐荷载作用，试求质量m的振幅A。已知 $\theta =\sqrt{\frac{2}{3}}\omega$，ω为结构的自振频率；各柱EI相同，不计杆的质量，不计阻尼。（刚度法直接动荷载）

答案：单自由度体系，质量的水平位移为动力自由度，向右为正方向。

（1）刚度系数

$k=\frac{12EI}{l^3}+\frac{3EI}{l^3}\times 2=\frac{18EI}{l^3}$

（2）静位移

$y_{st}=\frac{F}{k}=\frac{Fl^3}{18EI}$

（3）动力系数

$\mu =\frac{1}{1-\frac{\theta ^2}{\omega ^2}}=3$

（4）振幅

$A=\mu \cdot y_{st}=\frac{Fl^3}{6EI}$

3. 求作图示门式刚架在动荷载 $P\left( t \right) =P\sin \theta t$ 作用下的最大动力弯矩图。已知 $\theta ^2=\frac{8EI}{ml^3}$，柱子质量忽略不计。（刚度法间接动荷载）

答案：单自由度体系，质量的水平位移为动力自由度，向右为正方向。

首先将间接动荷载分解为时变荷载和直接动荷载。

计算直接动荷载作用下的动力响应：

（1）刚度系数

$k=\frac{12EI}{l^3}\times 2=\frac{24EI}{l^3}$

（2）自振频率

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{24EI}{ml^3}}$

（3）静位移

$y_{st}=\frac{F_0}{k}=\frac{Pl^3}{48EI}$

（4）动力系数

$\mu =\frac{1}{1-\frac{\theta ^2}{\omega ^2}}=\frac{3}{2}$

（5）振幅

$A=\mu \cdot y_{st}=\frac{Pl^3}{32EI}$

（6）惯性力幅值

$F_{I0}=mA\theta ^2=m\cdot \frac{Pl^3}{32EI}\cdot \frac{8EI}{ml^3}=\frac{P}{4}$

计算最大动力弯矩图

4. 图示体系承受简谐荷载作用。已知 $m=1000\mathrm{kg}$，$P=10\mathrm{kN}$，$\theta =\sqrt{\frac{2}{3}}\omega$，不计杆件质量，$EI=2.8\times 10^5\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}^2$，略去阻尼的影响。试求： （1）体系的自振频率ω；（2）平稳振动时质点m处的最大位移；（3）动弯矩幅值图。（柔度法直接动荷载）

答案：单自由度体系，质量的水平位移为动力自由度，向右为正方向。

（1）计算自振频率

$\delta =\sum{\int{\frac{\bar{M}\bar{M}}{EI}ds}}=\frac{4}{6\times 2.8\times 10^5\times 10^3}\times \left( 2\times 4\times 4 \right) \times 2=1.52381\times 10^{-7}\,\,\mathrm{m}/\mathrm{N}$

$\omega =\sqrt{\frac{1}{\delta m}}=\sqrt{\frac{1}{1.52381\times 10^{-7}\times 1000}}=81.01 \mathrm{rad}/\mathrm{s}$

（2）计算振幅

$y_{st}=P\cdot \delta =10\times 10^3\times 1.52381\times 10^{-7}=1.52381\times 10^{-3}\,\,\mathrm{m}$

$\mu =\frac{1}{1-\frac{\theta ^2}{\omega ^2}}=3$

$A=\mu \cdot y_{st}=3\times 1.52381\times 10^{-3}=4.57\times 10^{-3}\,\,\mathrm{m}$

（3）绘制动弯矩幅值图

$M_d=\mu \cdot M_{F_0}=\mu \cdot P\cdot \bar{M}$

5. 求图示结构的自振频率和动弯矩幅值图。已知EI=常数，$\theta ^2=2\omega ^2$（ω为结构的自振频率），忽略阻尼的影响。（柔度法间接动荷载）

答案：单自由度体系，质量的水平位移为动力自由度，向右为正方向。

（1）柔度系数、静位移计算

$\delta =\sum{\int{\frac{\bar{M}\bar{M}}{EI}ds}}=\frac{l}{6EI}\left( 2\times l\times l \right) +\frac{2l}{6EI}\left( 2\times l\times l \right) =\frac{l^3}{EI}$

$\varDelta_{F_0}=\sum{\int{\frac{\bar{M}M{F_0}}{EI}ds}}=\frac{1}{EI}\left( \frac{1}{2}\times 2l\times \frac{Pl}{2}\times \frac{l}{2} \right) =\frac{Pl^3}{4EI}$

（2）自振频率

$\omega =\sqrt{\frac{1}{\delta m}}=\sqrt{\frac{EI}{ml^3}}$

（3）动力系数

$\mu =\frac{1}{1-\frac{\theta ^2}{\omega ^2}}=-1$

（4）位移幅值

$A=\mu \cdot \varDelta _{F_0}=-\frac{Pl^3}{4EI}$

（5）惯性力幅值

$F_{I0}=mA\theta ^2=2mA\omega ^2=2\frac{A}{\delta}=-\frac{P}{2}$

（6）动弯矩幅值图

6. 图示结构在杆端A处作用一集中力偶 $M=M_0\sin \theta t$，弹簧支座的弹簧刚度常数为 $k$，各刚性杆的质量可忽略不计，试求各质量的最大动位移。（刚杆弹簧系统）

答案：

解法1：虚功原理法

单自由度体系，选择左段刚杆的转角位移为动力自由度，顺时针为正方向。

（1）利用刚体体系的虚位移原理列运动方程

虚功方程（力状态平衡方程、运动方程）：

$W_{ex}=0 \Rightarrow \,\,M\left( t \right) \cdot 1+\left( -2am\ddot{\alpha} \right) \cdot 2a+\left( -3am\ddot{\alpha} \right) \cdot 3a/2+\left( -3ak\alpha /2 \right) \cdot 3a/2=0$

即：

$\frac{17}{2}a^2m\ddot{\alpha}+\frac{9}{4}a^2k\alpha =M_0\sin \theta t$

（2）计算稳态位移响应

设稳态解 $\alpha =\alpha _0\sin \theta t$，则：

$-\frac{17}{2}a^2m\theta ^2\alpha _0+\frac{9}{4}a^2k\alpha _0=M_0\,\,\Rightarrow \,\,\alpha _0=\frac{4M_0}{9a^2k-34a^2m\theta ^2}$

（3）计算各质量的最大动位移：

m质点最大动位移：

$y_{m\,\,\max}=\alpha _0\cdot 2a=\frac{8M_0}{9ak-34am\theta ^2}$

2m质点最大动位移：

$y_{2m\,\,\max}=\alpha _0\cdot 3a/2=\frac{6M_0}{9ak-34am\theta ^2}$

解法2：直接刚度法

单自由度体系，选择2m质点的竖向位移为动力自由度，向下为正方向。

计算等效（直接）惯性质量：

计算等效（直接）刚度：

计算等效（直接）动荷载：

动平衡条件：

$M\ddot{y}+Ky=F\left( t \right) \,\,\Rightarrow \,\,\frac{34}{9}m\ddot{y}+ky=\frac{2M\left( t \right)}{3a}$

设稳态解 $y=y_0\sin \theta t$，则：

$-\frac{34}{9}m\theta ^2y_0+ky_0=\frac{2M_0}{3a}\,\,\Rightarrow \,\,y_0=\frac{6M_0}{9ak-34am\theta ^2}$

根据几何关系可知m质点的最大动位移：

$y_{0}^{\prime}=y_0\times 2\times \frac{2}{3}=\frac{8M_0}{9ak-34am\theta ^2}$

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