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1. 基本概念

平面杆系模型=研究对象部分+约束部分

研究对象由刚片和铰结点组成，在去除约束部分后各研究对象自身无多余约束且完全自由（基础刚片除外），不同研究对象之间相互独立。

研究对象的自由度：确定完全自由状态下研究对象在平面上的位置所需要的独立的几何坐标的数目。平面上一个铰结点研究对象有2个自由度，一个刚片研究对象有3个自由度。

约束（减少研究对象自由度的装置）由约束结点及约束链杆组成，且各约束均需满足约束的定义，即约束的两端均与研究对象相连（两端可以连接同一研究对象）。

一个链杆可提供1个约束，一个单铰结点可提供2个约束，一个单刚结点可提供3个约束。

连接n个刚片的复铰结点相当于(n-1)个单铰结点，即可提供2(n-1)个约束；连接n个刚片的复刚结点相当于(n-1)个单刚结点，即可提供3(n-1)个约束。

需要注意的是同一体系满足上述分类要求的研究对象和约束分组并不唯一。

2. 计算自由度及其计算方法

体系计算自由度W=研究对象（刚片或铰结点）部分的总自由度数-约束部分的总约束数。

（在确定计算自由度时不考虑约束的布置，将所有约束均视为有效约束）

总自由度数=3×总刚片研究对象数+2×总铰结点研究对象数

总约束数=3×总单刚结点数+2×总单铰结点数+总链杆数

针对实际操作时同学们难以准确判别体系中的总单铰结点数和总单刚结点数的问题，我们提出逐步确定总约束数的“研究对象拆除法”。

研究对象拆除法：通过逐步解除约束依次让各研究对象重获自由（研究对象本身无多余约束、研究对象间相互独立）。

每次拆除1个研究对象，每次拆除过程中与要拆除研究对象相连的复铰结点（或复刚结点）仅需要解开1次，解开一次相当于解除1个单铰结点（或单刚结点）；因此每次拆除一个研究对象需要解除的约束数=3×拆除研究对象与剩余部分的刚结点数+2×拆除研究对象与剩余部分的铰结点数+拆除研究对象与剩余部分的链杆数。

汇总拆除过程中的所有铰结点数、刚结点数和链杆数即为体系的总单铰结点数、总单刚结点数和总链杆数。

3. 例题

例题1：计算图示体系的计算自由度。

【答案】（1）体系分组（研究对象组-红色，约束组-黑色）

研究对象组包括1个刚片和4个铰结点（及基础），除研究对象组外的约束组的各约束均满足约束定义（即约束两端均连接了研究对象）。

（2）计算研究对象组的总自由度数

Z=3×1+2×4=11

（3）根据拆除法计算约束组的总约束数

①拆除研究对象铰结点1：需要打断（去除）3个链杆（图6）

②拆除研究对象铰结点2：需要打断（去除）2个链杆（图7）

③拆除研究对象铰结点3：需要打断（去除）2个链杆（图8）

④拆除研究对象铰结点4：需要打断（去除）1个链杆（图9）

⑤拆除研究对象刚片Ⅰ：需要打断（去除）3个链杆（图10）

整个拆除过程中共去除的链杆数为3+2+2+1+3=11个，约束组的总约束数为：

Y=1×11=11

（4）计算体系的计算自由度W

W=Z-Y=11-11=0

例题2：计算图示体系的计算自由度。

【答案】（1）体系分组（研究对象组-绿色，约束组-黑色）

研究对象组包括1个刚片（及基础-红色），除研究对象组外的约束组的各约束均满足约束定义（即约束两端均连接了研究对象）。

（2）计算研究对象组的总自由度数

Z=3×1=3

（3）根据拆除法计算约束组的总约束数

①拆除研究对象刚片Ⅰ：需要打断（去除）1个刚结点、2个铰结点和1个链杆（图13）

②让研究对象刚片Ⅰ成为无多余约束刚片：需要打断（去除）1个刚结点（图14）

整个拆除过程中共去除的刚结点数为1+1=2个，铰结点数为2个，链杆数为1个；约束组的总约束数为：

Y=3×2+2×2+1×1=11

（4）计算体系的计算自由度W

W=Z-Y=3-11=-8

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