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1. 试分析图示刚架，绘制其弯矩图。（15分）

【答案】BCE为附属部分，ABD为基本部分；先计算附属部分（两刚片规则）并确定其通过铰结点B传给基本部分荷载，然后计算基本部分（两刚片规则）。

2. 试求图示桁架1、2杆的轴力F_N1和F_N2，设各杆EA=常数。（10分）

【答案】对称结构受到反对称荷载作用，可根据对称性判断中间竖杆为零杆，去掉该零杆后，中间出现两个没有荷载作用的二元体，因此组成这两个二元体的4个链杆为零杆；然后根据荷载作用结点的竖向力平衡可知左右竖杆为零杆（同“T”形结点零杆判断）。

最后通过结点法计算链杆1、2的轴力：

3. 试用力法求出图示梁C处的弯矩值。已知梁与C支座间有间隙d=l/600。（12分）

【答案】分情况讨论

情况一：若加载后AB梁中点C未与下方支座接触，则整个加载过程AB均为单跨静定简支梁，弯矩图如下图所示，$M_{C}=\frac{1}{4}ql^{2}$。

采用单位荷载法计算$\Delta_{Cy}$：

$\Delta_{Cy}=\sum\int\frac{M\overline{M}}{EI}ds=\frac{l}{6EI}\Bigg(2\times\frac{ql^2}{4}\times\frac{l}{2}\Bigg)\times2+\frac{1}{EI}\Bigg(\frac{2}{3}\times l\times\frac{ql^2}{8}\times\frac{1}{2}\times\frac{l}{2}\Bigg)=\frac{5ql^4}{48EI}\Big(\downarrow\Big)$

拓展：更快捷的计算$\Delta_{Cy}$的方法为将半跨均布荷载分解为全跨正对称均布荷载加反对称均布荷载（如下图所示），其中反对称荷载作用下C点的竖向位移$\Delta_{Cy}^{\text{反}} = 0$，正对称荷载作用下C点竖向位移$\Delta_{Cy}^{\text{正}} = \frac { 5 ( q / 2 ) ( 2 l ) ^ 4 }{ 3 8 4 E I }=\frac{5ql^4}{48EI}(\downarrow)$，因此原半跨均布荷载q作用下C点的竖向位移$\Delta_{Cy}=\Delta_{Cy}^\text{正}+\Delta_{Cy}^\text{反}=\frac{5ql^4}{48EI}\left(\downarrow\right)$。

情况一成立的条件为：$\Delta_{Cy}\leq d$，即$\frac{5ql^{4}}{48EI}\leq\frac{l}{600}$，也即$q\leq\frac{2EI}{125l^3}$；故当$q\leq\frac{2EI}{125l^3}$时，梁中点C的弯矩$M_{C}=\frac14ql^{2}$。

情况二：当$q>\frac{2EI}{125l^{3}}$时，加载后AB梁中点C与下方支座接触，并且接触后下方支座将通过竖向支座反力限制C点的竖向位移，此时AB梁为两跨超静定连续梁，可以用力法、位移法等超静定结构内力计算方法求解。

解法1：力法分步求解法

将加载及受力过程分为梁跨中C点接触下方支座前和接触下方支座后，接触前的加载过程为荷载q从0增加至$q_{1}=\frac{2EI}{125l^{3}}$的过程，此过程梁AB按简支梁受力，该过程结束时C点弯矩$M_{C1}=\frac14q_{1}l^{2}=\frac{EI}{250l}$；接触后的加载过程为荷载q从q₁增加至q的过程，此过程梁AB按两跨超静定连续梁受力，该过程的加载量$q_{2}=q-q_{1}$将由超静定梁承担，由q₂引起结构内力可用力法计算。

力法基本体系：

力法方程：变形协调条件

$\delta_{11}X_{1}+\Delta_{1P}=\Delta_{1}$

求系数和自由项：

$\Delta_{1}=0$

$\delta_{11}=\sum\int\frac{\overline{M}_1\overline{M}_1}{EI}ds=\frac{l}{6EI}\Big(2\times1\times1\Big)\times2=\frac{2l}{3EI}$

$\Delta_{1P}=\sum\int\frac{M_P\overline{M}_1}{EI}ds=\frac{1}{EI}\Bigg(\frac{2}{3}\times l\times\frac{q_2l^2}{8}\times\frac{1}{2}\times1\Bigg)=\frac{q_2l^3}{24EI}$

解方程：

$X_1=-\frac{q_2l^2}{16}$（上侧受拉）

接触后新增荷载$q_{2}$引起的梁C点的弯矩$M_{C2}$：

$M_{C2}=M_{CP}+\bar{M}_{C1}\cdot X_1=-\frac{ql^2}{16}+\frac{EI}{1000l}$（下侧受拉为正）

综上可得加载完成后梁C点的总弯矩$M_{C}$：

$M_{C}=M_{C1}+M_{C2}=-\frac{ql^2}{16}+\frac{EI}{200l}$（下侧受拉为正）

解法2：力法直接求解法（无需考虑加载过程，将间隙d视为C处支座的竖向位移即可）

力法基本体系：（大家可以尝试采用方法1中的力法基本结构进行计算）

力法方程：

$\delta_{11}X_{1}+\Delta_{1P}=\Delta_{1}$

求系数和自由项：

$\Delta_1=d=\frac{l}{600}$

$\delta_{11}=\sum\int\frac{\overline{M}_1\overline{M}_1}{EI}ds=\frac{l}{6EI}\Bigg(2\times\frac{l}{2}\times\frac{l}{2}\Bigg)\times2=\frac{l^3}{6EI}$

$\Delta_{1P}=\sum\int\frac{M_P\overline{M}_1}{EI}ds=\frac{5ql^4}{48EI}$（同情况一中的$\Delta_{Cy}$）

解方程：

$X_1=\dfrac{EI}{100l^2}-\dfrac{5ql}8(\uparrow)$

梁C点弯矩$M_{C}$：

$M_C=M_{CP}+\bar{M}_{C1}\cdot X_1=\frac{ql^2}{4}+\frac{l}{2}\cdot\left(\frac{EI}{100l^2}-\frac{5ql}{8}\right)=-\frac{ql^2}{16}+\frac{EI}{200l}$（下侧受拉为正）

解法3：位移法（基于对称性化简） 利用对称性将外部作用（荷载和支座移动）分解为正对称作用和反对称作用的组合（如下图所示），其中反对称作用下梁C点的弯矩$M_{C}^{\text{反}} = 0$，正对称作用下梁C点的弯矩$M_{C}^{\text{正}}$可通过取正对称半结构后用位移法求解。

正对称作用下的正对称半结构：

根据形常数表和载常数表可直接计算正对称半结构C点的弯矩$M_{C}^{\text{正}}$：

$M_C^\text{正}=\dfrac{3EI}{l^2}\cdot d-\dfrac{(q/2)l^2}{8}=-\dfrac{ql^2}{16}+\dfrac{EI}{200l}$（下侧受拉为正）

故原结构梁C点弯矩$M_{C}$：

$M_{C}=M_{C}^{\text{反}} + M _{C}^{\text{正}} = – \frac{q l ^ { 2 }}{ 1 6 }+\frac{EI}{200l}$（下侧受拉为正）。

4. 试作出图示多跨静定梁A支座的反力影响线（4分），并求出在可任意间断布置的均布荷载q作用下，该反力的最大值（2分）。（共6分）

【答案】采用机动法作静定多跨梁的影响线

由A支座的反力影响线可知在B点以左区域布置均布荷载，可使A支座的反力最大，最大值为：

$F_{Ay\max}=\sum qA=q\times\left(2a\times1+\frac{1}{2}\times a\times1\right)=\frac{5}{2}qa\left(\uparrow\right)$

5. 试用位移法求解图示刚架（10分），并计算K点的竖向位移（5分）。（共15分）

【答案】AC杆为弯矩静定杆（可将A处支座链杆滑移至C点），C结点杆端弯矩静定，因此位移法基本未知量为D结点的角位移。

位移法方程：

$k_{11}\Delta_{1}+F_{1P}=0$

求系数和自由项：

$F_{1P}=\frac{ql^2}{24}$，$k_{11}=15i$

解方程：

$\Delta_1=-\frac{ql^3}{360EI}$（逆时针）

绘弯矩图：$M=M_P+\bar{M}_1\cdot\Delta_1$

超静定结构位移计算：转化为静定结构位移计算，采用单位荷载法求K点的竖向位移时单位荷载可作用于图示静定基本结构上。

$\Delta_{yK}=\sum\int\frac{M\overline{M}}{EI}ds=\frac{1}{EI}\Bigg(2\times\frac{2}{3}\times\frac{l}{2}\times\frac{ql^{2}}{8}\times\frac{l}{4}\times\frac{5}{8}-\frac{l}{2}\times\frac{l}{4}\times\frac{1}{2}\times\frac{7ql^{2}}{60}\Bigg)=\frac{11ql^{4}}{1920EI}\big(\downarrow\big)$

6. 试用力矩分配法求解图示结构C支座发生沉降Δ=31l/300时的弯矩图（9分），并求出B结点的转角（3分）。设各杆EI=常数。（共12分）

【答案】CB杆为弯矩静定杆，将C结点处支座链杆滑移至B结点后可将弯矩静定杆化简掉（静定附属部分），化简后的超静定结构如下图所示。

分配结点：结点B（按位移法求解时只需要在B处附加一个刚臂）

转动刚度：在B结点附加刚臂后，AB杆为左端铰接右端固定杆，转动刚度$S_{BA}=\frac{3EI}{4l}$；BD为两端固定杆，转动刚度$S_{BD}=\frac{4EI}{5l}$。

分配系数：

$\mu_{BA}=\frac{S_{BA}}{S_{BA}+S_{BD}}=\frac{15}{31}$，$\mu_{BD}=\frac{S_{BD}}{S_{BA}+S_{BD}}=\frac{16}{31}$

传递系数：

$C_{BA}=0$，$C_{BD}=1/2$

固端弯矩：分配结点转动约束时结构在外部作用下的杆端弯矩

$M_{AB}^{F}=0$，$M_{BA}^F=-\frac{31EI}{1600l}$，$M_{BD}^{F}=0$，$M_{DB}^{F}=0$。

力矩分配与传递：

绘制弯矩图：

求B结点的转角：等于B结点的总分配力矩除以总转动刚度（或等于某杆B端的总分配弯矩除以该杆B端的转动刚度）

$\theta_B=\frac{M_B^D}{\sum S_{Bi}}=\frac{-\left(-\frac{31EI}{1600l}+0\right)}{\frac{3EI}{4l}+\frac{4EI}{5l}}=0.0125\text{rad}$（顺时针）

7. 试求图示刚架的全部自振频率。设各杆EI=常数，忽略各杆自身的质量。（14分）

【答案】体系的动力自由度为2（质点的水平和竖向位移），结构对称（几何对称、支承条件对称、刚度对称、质量对称），因此自振模态可分为正对称模态和反对称模态；而正对称模态和反对称模态可通过取半结构求解。

（1）正对称模态（单自由度）

采用刚度法计算正对称半结构的自振频率，在质点动力自由度方向附加竖向链杆支座，刚度系数为附加链杆支座发生单位竖向位移时附加链杆支座的约束力。

附加链杆支座发生单位竖向位移的弯矩图可用力矩分配法计算，然后由M图求刚度系数$k_{\text{正}}$。

由结点$\Sigma F_{y}=0$得：$k_\text{正}=\frac{48EI}{l^3}$，$\omega_\text{正}=\sqrt{\frac{k_\text{正}}{ m / 2 }}=4\sqrt{\frac{6EI}{ml^3}}$。

（2）反对模态（单自由度）

采用刚度法计算反对称半结构的自振频率，在质点动力自由度方向附加水平链杆支座，刚度系数为附加链杆支座发生单位水平位移时附加链杆支座的约束力。

附加链杆支座发生单位水平位移的弯矩图可用力矩分配法计算，然后由M图求刚度系数$k_{\text{反}}$。

由隔离体$\Sigma M_{O}=0$得：$k_\text{反}=\frac{24EI}{l^3}$，$\omega_\text{反}=\sqrt{\frac{k_\text{反}}{ m / 2 }}=4\sqrt{\frac{3EI}{ml^3}}$。

综上，原结构的一阶自振频率$\omega_{1}=\omega_{\text{反}} = 4 \sqrt { \frac { 3 E I }{ m l ^ 3 }}$（反对称振动），二阶自振频率 $\omega_2=\omega_\text{正}=4\sqrt{\frac{6EI}{ml^3}}$（正对称振动）。

8. 若用矩阵位移法中后处理法求解图示刚架，杆件上箭头表示局部坐标轴，设各杆E、A、I均相同，试回答：（1）②单元刚度矩阵中第2行第6列的元素值为多少（4分）？（2）该元素送至原始总刚第几行第几列（4分）？（共8分）

【答案】（1）整体坐标系下②单元的单元刚度矩阵为：

$\left[k\right]^{(2)}=\left[\overline{k}\right]^{(2)}=\begin{bmatrix}\frac{EA}{l}&0&0&-\frac{EA}{l}&0&0\\0&\frac{12EI}{l^3}&\frac{6EI}{l^2}&0&-\frac{12EI}{l^3}&\frac{6EI}{l^2}\\0&\frac{6EI}{l^2}&\frac{4EI}{l}&0&-\frac{6EI}{l^2}&\frac{2EI}{l}\\-\frac{EA}{l}&0&0&\frac{EA}{l}&0&0\\0&-\frac{12EI}{l^3}&\frac{-6EI}{l^2}&0&\frac{12EI}{l^3}&-\frac{6EI}{l^2}\\0&\frac{6EI}{l^2}&\frac{2EI}{l}&0&-\frac{6EI}{l^2}&\frac{4EI}{l^2}\end{bmatrix}$

因此，$k_{26}^{(2)}=\frac{6EI}{l^{2}}$。

此外也可以直接通过刚度系数的物理意义直接计算$k_{26}^{(2)}$，即由整体坐标系下②单元$\Delta_{6}^{(2)}=1$单独作用下，两端固定的②单元沿$\Delta_{2}^{(2)}$方向的杆端力。当$\Delta_{6}^{(2)}=1$时，沿$\Delta_{2}^{(2)}$方向的杆端力$k_{26}^{(2)}=\frac{6EI}{l^{2}}$。

（2）②单元的定位向量$\left\{\lambda\right\}^{(2)}=\left\{4,5,6,10,11,12\right\}^{T}$，因此$k_{26}^{(2)}$送至原始总刚的第5行第12列。

9. 试分析确定图示体系的失稳临界荷载F_Pcr。（8分）

【答案】结构对称且荷载正对称，故失稳模态为正对称失稳或反对称失稳。根据失稳模态的对称性取半结构后可得到单个压杆的支承条件，如下图所示。

正对称失稳模态对应的压杆计算长度系数$\mu=0.7$，反对称失稳模态对应的压杆计算长度系数$\mu=2$；因此结构的一阶失稳模态为反对称失稳模态，其对应的失稳临界荷载可按材料力学理想压杆欧拉稳定承载力公式计算。

$F_{Pcr}=\frac{\pi^2EI}{\left(\mu h\right)^2}=\frac{\pi^2EI}{4h^2}$

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