—原创文章，未经允许，严禁转载—

一、选择题。（每小题4分，共32分）

1、当θ远大于ω时，此时平衡外力P的力主要为（ ）。

A. 惯性力    B. 重力    C. 弹性恢复力    D. 阻尼力

【答案】A

2、如下图所示，图(b)为图(a)中m截面弯矩影响线，则图(b)中k坐标值为（ ）。

A. $\text{}\dfrac{ab}{\left(a+b\right)}$    B. $\dfrac{ab\text{cos}\alpha}{(a+b)}$    C. $\begin{aligned}\frac{ab}{(a+b)\text{cos}\alpha}\end{aligned}$    D. $\dfrac{ab\text{sin}\alpha}{(a+b)}$

【答案】A

3、下图体系为（ ）。

A. 几何不变无多余约束      B. 几何不变有多余约束      C. 几何瞬变      D. 几何常变

【答案】A

4、如图所示连续梁，EI =常数，已知支撑B处的转角$\text{}\varphi_B=\dfrac{-7F_P l^2}{240EI}$，则支承C处的转角$\varphi_{C}$应为（ ）。

A. $\varphi_C=\dfrac{F_P l^2}{60EI}$    B. $\varphi_C=\dfrac{F_P l^2}{120EI}$    C. $\varphi_C=\dfrac{F_P l^2}{180EI}$    D. $\varphi_C=\dfrac{F_P l^2}{240EI}$

【答案】B

5、已知支座B发生转角位移$\varphi_B=0.001\text{rad}$，则A点竖向位移为（ ）。

A. 0.5mm     B. 1.0mm     C. 1.5mm     D. 2.0mm

【答案】B

6、下图所示结构在荷载作用下的弯矩图为（ ）。

【答案】C

7、下图(a)超静定结构（等边三角形）采用图(b)基本结构力法求解时，则力法方程自由项$\begin{aligned}\Delta_{1P}\end{aligned}$为（ ）。

A. $F_P/k$    B. $-F_P/k$    C. $F_P/2k$    D. $-F_P/2k$

【答案】C

8、下图结构C截面的弯矩（左侧受拉为正）为（ ）。

A. 0    B. $\text{$-F_Pl$}$    C. $\text{$-3F_Pl$}$    D. $\text{$2F_Pl$}$

【答案】D

二、求图示桁架1、2和3杆的轴力。（12分）

【答案】截面法，取下图所示隔离体，并对A点取矩平衡和水平力平衡；

$\begin{aligned}\sum M_A=0\end{aligned}$，$F_{N2}\cdot6-F_P\cdot4=0$，$\begin{aligned}F_{N2}&=\frac{2}{3}F_{P}\end{aligned}$（拉）

$\begin{aligned}\sum F_x=0\end{aligned}$，$\begin{aligned}&F_{N2}+\frac{\sqrt{2}}{2}F_{N4}=0\end{aligned}$，$\begin{aligned}F_{N4}&=-\frac{2\sqrt{2}}{3}F_{P}\end{aligned}$（压）

再取下图所示隔离体，并分别对B、C点取矩平衡。

$\begin{aligned}\sum M_B=0\end{aligned}$，$\begin{aligned}&F_{N1}\cdot2-\frac{2}{3}F_P\cdot4=0\end{aligned}$，$\begin{aligned}F_{N1}&=\frac{4}{3}F_{P}\end{aligned}$（拉）

$\begin{aligned}\sum M_C=0\end{aligned}$，$\begin{aligned}\frac{\sqrt{2}}{2}F_{N3}\cdot4\text{-}\frac{2}{3}F_P\cdot6-F_P\cdot2\text{=0}\end{aligned}$，$\begin{aligned}F_{N3}&=\frac{3\sqrt{2}}{2}F_{P}\end{aligned}$（拉）

三、作图示结构中受弯杆件的M图。（10分）

【答案】先绘制右侧的附属部分后绘制左侧的基本部分。

四、求图示结构B点的水平位移，EI为常数。（12分）

【答案】采用单位荷载法计算B点的水平位移。

$\Delta_{BH}=\sum\int\dfrac{M\overline{M}}{EI}ds=\dfrac{1}{EI}\left(\dfrac{2}{3}\times2\times24\times2+\dfrac{1}{2}\times2\times2\times24\right)=\dfrac{112}{EI}\text{kN}\cdot\text{m}^3\left(\rightarrow\right)$

五、用力法计算并作出图示结构的M图，EI为常数。（15分）

【答案】首先计算右侧的静定的附属部分；

基本部分所受荷载中仅集中力矩会使结构产生弯矩，故可取半结构后采用力法计算对称基本部分在反对称荷载作用下的弯矩图。

（1）力法基本体系（1次超静定）

（2）力法方程

$\delta_{11}X_1+\Delta_{1P}=0$

（3）计算力法方程中的系数和自由项

$\begin{aligned}&\Delta_{1P}=\sum\int\frac{M_P\bar M_1}{EI}ds=\frac{1}{EI}\left(\frac{1}{2}\times2\times80\times\frac{1}{3}\times2\right)=\frac{160}{3EI}\text{kN}\cdot\text{m}^3\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\delta_{11}=\sum\int\frac{\bar M_1\bar M_1}{EI}ds=\frac{1}{EI}\left(\frac{1}{2}\times2\times2\times\frac{2}{3}\times2\times2+2\times2\times2\right)=\frac{40}{3EI}\text{m}^3\end{aligned}$

（4）解力法方程

$\begin{aligned}X_1=-\frac{\Delta_{1P}}{\delta_{11}}=-4\text{kN} (\downarrow)\end{aligned}$

（5）绘制M图（基本部分弯矩图反对称）

$\begin{aligned}M=M_P+\overline M_1\text{}X_1\end{aligned}$

六、用位移法作图示结构的M图，EI为常数。（15分）

【答案】（1）位移法基本体系

（2）位移法方程

$k_{11}\Delta_1+F_{1P}=0$

（3）计算位移法方程中的系数和自由项

$F_{1P}=15-45=-30\text{kN}\cdot\text{m}$，$k_{11}=i+i+3i=5i$

（4）解位移法方程

$\begin{aligned}\Delta_1=-\frac{F_{1P}}{k_{11}}=\frac{6\text{k}\text{N}\cdot\text{m}}{i}\end{aligned}$（顺时针）

（5）绘制M图

$M=M_P+\overline{M}_1\Delta_1$

七、用力矩分配法计算图示结构并作出M图，EI为常数，计算结果保留着整数。（12分）

【答案】首先绘制静定附属部分（两侧悬挑部分）

超静定基本部分为对称结构，所受荷载为正对称荷载，故可取半结构后用力矩分配法计算超静定部分的弯矩。

（1）分配结点：B结点

（2）转动刚度

$\textit{S}_{BA}=3i$，$\textit{S}_{BC}=i$，$\textit{S}_{BD}=4i$，$\textit{S}_{BE}=2i$

（3）分配系数

$\begin{aligned}\mu_{Bn}&=\frac{S_{Bn}}{\sum S_{Bm}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\mu_{BA}&=\frac{3i}{10i}\end{aligned}=0.3$，$\begin{aligned}\mu_{BC}&=\frac{i}{10i}\end{aligned}=0.1$，$\begin{aligned}\mu_{BD}&=\frac{4i}{10i}\end{aligned}=0.4$，$\begin{aligned}\mu_{BE}&=\frac{2i}{10i}\end{aligned}=0.2$

（4）传递系数

$C_{BA}=0\text{}$，$C_{BC}\text{}=-1$，$\text{}C_{BD}=\dfrac{1}{2}$，$\text{}C_{BE}=\dfrac{1}{2}$

（5）固端弯矩

$M^F_{AB}=-16\text{kN}\cdot\text{m}$，$M^F_{BA}=-8\text{kN}\cdot\text{m}$

$ M_{BC}^F=-\dfrac{1}{3}\times4\times3^2=-12\text{kN}\cdot\text{m}$，$\begin{aligned}M^F_{CB}=-\dfrac{1}{6}\times4\times3^2=-6\text{kN}\cdot\text{m}\end{aligned}$

$M^F_{BD}\text{=}0$，$M^F_{DB}\text{=}0$

$M^F_{BE}\text{=}0$，$M^F_{EB}\text{=}0$

（6）力矩分配与传递

（7）绘制M图（超静定基本部分弯矩图正对称）

八、如图所示结构，试用先处理法求结构的刚度矩阵（忽略轴向变形）。（10分）

【答案】（1）编码（结点位移编码、单元编码）

（2）整体坐标系下的单元刚度矩阵

$$[K{]}^e=[\overline{K}{]}^e=\left[\begin{array}{cc}4i_e& 2i_e\\ 2i_e& 4i_e\end{array}\right]$$

$$[K{]}^{(1)}=[K{]}^{(4)}=\left[\begin{array}{l}4i_1\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}2i_1\\ 2i_1\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}4i_1\end{array}\right]$$

$$[K{]}^{(2)}=\left[\begin{array}{l}4i_2\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}2i_2\\ 2i_2\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}4i_2\end{array}\right]$$

$$[K{]}^{(3)}=\left[\begin{array}{l}4i_3\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}2i_3\\ 2i_3\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}4i_3\end{array}\right]$$

（3）单元定位向量

$$\{\lambda {\}}^{(1)}=\left\{\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right\},\{\lambda {\}}^{(2)}=\left\{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}\right\},\{\lambda {\}}^{(3)}=\left\{\begin{array}{l}3\\ 4\end{array}\right\},\{\lambda {\}}^{(4)}=\left\{\begin{array}{l}3\\ 0\end{array}\right\}$$

（4）结构刚度矩阵

$$[K]=\left[\begin{array}{cccc}4i_1& 2i_1& 0& 0\\ 2i_2& 4\left(i_1+i_2\right)& 2i_2& 0\\ 0& 2i_2& 4\left(i_1+i_2+i_3\right)& 2i_3\\ 0& 0& 2i_3& 4i_3\end{array}\right]$$

九、如下图所示，试求: （1）F_RB和F_QA右的影响线；（2）求M_C的最大值，需考虑调头。（16分）

【答案】（1）采用机动法（联合法）绘制影响线；

（2）首先采用机动法绘制M_C的影响线；

a. 调头前

判断临界荷载

$\dfrac{30}{6}\lt\dfrac{30+10}{4}$，左侧30kN不是临界荷载

$\dfrac{30+30}{6}>\dfrac{10}{4}$，$\dfrac{30}{6}\lt\dfrac{30+10}{4}$，中间30kN是临界荷载

$\dfrac{30+30}{6}>\dfrac{10}{4}$，右侧10kN不是临界荷载

因此，调头前当中间30kN移至C点上方时，M_C取得调头前的最大值。

$M^1_{C\text{max}}=30\times\dfrac{4}{6}\times2+30\times2+10\times\dfrac{3}{4}\times2=115\text{kN}\cdot\text{m}$

b. 调头后

判断临界荷载

$\dfrac{10}{6}\lt\dfrac{30+30}{4}$，左侧10kN不是临界荷载

$\dfrac{10+30}{6}<\dfrac{30}{4}$，中间30kN不是临界荷载

$\dfrac{10+30+30}{6}>\dfrac{0}{4}$，$\dfrac{10+30}{6}<\dfrac{30}{4}$，右侧30kN是临界荷载

因此，调头后当右侧30kN移至C点上方时，M_C取得调头后的最大值。

$\begin{aligned}M^2_{C\text{max}}=10\times\frac36\times2+30\times\frac46\times2+30\times2=110\text{kN}\cdot\text{m}\end{aligned}$

综上，在荷载调头前中间30kN移至C点上方时M_C的最大值为115kN▪m。

十、求图示结构的自振频率。EI为常数。（15分）

【答案】体系的动力自由度为2，由于结构和质量对称，故体系的振型包括1个正对称振型和1个反对称振型；分别按照对称性取半结构后计算正对称振型和反对称振型的自振频率。

采用柔度法计算正对称半结构（单自由度体系）的自振频率；

$\begin{aligned}\delta_{正}&=\frac{\left(2l\right)^3}{48EI}-\frac{3l}{8}\cdot\frac{\left(2l\right)^2}{16EI}=\frac{7l^3}{96EI}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\omega_{\mathbb{正}}=\sqrt{\frac{1}{m\delta_{\mathbb{正}}}}=\sqrt{\frac{96EI}{\text{}7ml^3}}\end{aligned}$

采用柔度法计算反对称半结构（单自由度体系）的自振频率；

$\begin{aligned}\delta_{反}&=\sum\int\dfrac{\overline{M}_{反}\overline{M}}{EI}ds=\dfrac{l}{6EI}\left(2\times l\times\frac{10l}{13}-l\times\frac{3l}{13}\right)=\dfrac{7l^3}{78EI}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\omega_{\mathbb{反}}=\sqrt{\frac{1}{m\delta_{\mathbb{反}}}}=\sqrt{\frac{78EI}{\text{}7ml^3}}\end{aligned}$

综上，结构的自振频率为：

$\begin{aligned}\omega_1=\omega_{\mathbb{_反}}=\sqrt{\frac{78EI}{\text{}7ml^3}}\end{aligned}$，$\begin{aligned}\omega_2=\omega_{_正}=\sqrt{\frac{96EI}{\text{}7ml^3}}\end{aligned}$

—原创文章，未经允许，严禁转载—