2018年同济大学第十届“土木杯”结构力学大奖赛试题详解

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1. 试绘制图示刚架的弯矩图和剪力图。（20分）

【答案】首先求解右侧附属部分，然后求解左侧基本部分。

2. 试运用力学概念绘制图a、b所示对称刚架在右侧支座沉降作用下弯矩图的形状。（15分）

【答案】根据对称性，将支座移动分解为对称支座移动（整体竖向平移，不产生内力）和反对称支座移动；反对称支座移动下的反对称弯矩图可通过反对称半结构确定。

3. 欲计算图（a）所示桁架AB和BC杆的转角，若取图（b）所示的虚拟状态（求BC杆转角时虚拟力各下移a/2），即分别用一对水平力对所求杆形成单位力偶矩从概念角度是否可以？就计算结果而言这样做法两杆的转角分别与传统做法所得结果是否相同？（15分）

【答案】可以，AB杆与传统做法相同，BC杆与传统做法不同。

欲求AB链杆的转角可在AB杆任意位置加一个单位集中力矩，通过静力等效将单位集中力矩等效为作用在链杆AB两端的一对集中力，若此等效不改变AB杆的轴力（仅改变弯矩和剪力）则静力等效后的一对集中力可作为求解AB转角位移的广义单位荷载（即传统做法将单位集中力矩静力等效为一对垂直于杆轴的集中力）。

设位移状态中AB链杆的轴向变形为$\Delta_{AB}$（伸长为正）、转角为$\theta_{AB}$（顺时针为正），则AB两点的相对水平位移$\Delta_{AB}^H=\Delta_{AB}\cos\alpha+\theta_{AB}\cdot a/2$（其中$\alpha$为AB杆倾角），即$\theta_{AB}=2\Delta_{AB}^H/a-2\Delta_{AB}\text{cos}\alpha/a$。因此当且仅当位移状态中$\Delta_{AB}=0$时$\theta_{A B}=2\Delta_{A B}^{H}/a$，即图（b）所示广义单位荷载所求位移；当$\Delta_{AB}\neq 0$时，$\theta_{_{AB}}$为图（b）所示广义单位荷载所求位移减去$2\Delta_{_{AB}}\cos\alpha/a$。（其中$\Delta_{AB}$可直接从位移状态中计算得到$\Delta_{AB}=\frac{F_{NAB}l_{AB}}{EA}$）

由于位移状态中$F_{N A B}=0$、$F_{N B C}\not=0$，所以$\theta_{AB}=2\Delta_{AB}^H/a$、$\theta_{B C}\neq2\Delta_{B C}^{H}/a$。

4. 试用力法求出图示梁C处的弯矩值，已知梁与C支座间有间隙d=l/600。（15分）

【答案】需要分情况讨论。
情形一：当$q<\frac{2 E I}{125 l^3}$时C点还未接触到中间支座，此时中间支座提供的竖向支承力为零，AB杆为静定简支梁，此时$M_C=q l^2 / 4$。

$\Delta_{C V}=\sum \int \frac{M \bar{M}}{E I} d s=\frac{1}{E I}\left(\frac{1}{2} \times l \times \frac{q l^2}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{l}{2} \times 2+\frac{2}{3} \times l \times \frac{q l^2}{8} \times \frac{1}{2} \times \frac{l}{2}\right)=\frac{5 q l^4}{48 E I}$

$\Delta_{C V}=\frac{5 q l^4}{48 E I}<d \Rightarrow q<\frac{48 E I d}{5 l^4}=\frac{2 E I}{125 l^3}$

情形二：当$q \geq \frac{2 E I}{125 l^3}$时C点接触到中间支座，此时中间支座为梁AB提供竖向支承力，AB杆为超静定多跨梁，可通过力法计算M_C。
（1）力法基本体系

（2）力法方程

$\delta_{11} X_1+\Delta_{1 P}=d$

（3）求系数和自由项

$\delta_{11}=\sum \int \frac{\bar{M}_1 \bar{M}_1}{E I} d s=\frac{1}{E I}\left(\frac{1}{2} \times l \times \frac{l}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{l}{2} \times 2\right)=\frac{l^3}{6 E I}$

$\Delta_{1 P}=\sum \int \frac{M_P \bar{M}_1}{E I} d s=\frac{1}{E I}\left(\frac{1}{2} \times l \times \frac{q l^2}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{l}{2} \times 2+\frac{2}{3} \times l \times \frac{q l^2}{8} \times \frac{1}{2} \times \frac{l}{2}\right)=\frac{5 q l^4}{48 E I}$

（4）解力法方程

$X_1=\frac{d}{\delta_{11}}-\frac{\Delta_{1 P}}{\delta_{11}}=\frac{6 E I d}{l^3}-\frac{5 q l}{8} \quad(\leq 0)$

（5）求弯矩（正号表示下侧受拉）

$M_C=M_{P C}+\bar{M}_{1 C} X_1=\frac{q l^2}{4}+\frac{l}{2}\left(\frac{6 E I d}{l^3}-\frac{5 q l}{8}\right)=\frac{3 E I d}{l^2}-\frac{q l^2}{16}=\frac{E I}{200 l}-\frac{q l^2}{16}$

5. 试作图示结构的弯矩图，已知C、D角点处有0.5m边长刚域，其余部EI=常数。（15分）

【答案】根据对称性（结构对称、荷载正对称）取正对称半结构后用位移法计算弯矩图。

（1）位移法基本体系

（2）位移法方程

$k_{11} \Delta_1+F_{1 P}=0$

（3）求系数和自由项

$F_{1 P}=-62.5 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}, \quad k_{11}=\frac{79 E I}{72 \mathrm{~m}}$

（4）解方程

$\Delta_1=\frac{-F_{1 P}}{k_{11}}=\frac{4500 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}^2}{79 E I}$（顺时针）

（5）绘制弯矩图

$M=M_P+\bar{M}_1 \Delta_1$

6. 图示组合结构，杆BF的轴向刚度为EA，受弯杆的EI=常数，且忽略轴向变形，单位集中力F_P=1在AE区间移动；求（1）试作支座A的竖向反力F_yA的影响线；（2）若将自由端E改为固定端，试定性作出此种情况下支座A的竖向反力F_yA影响线的形状。（10分）

【答案】（1）采用机动法（联合法）绘制静定结构支座反力F_yA的影响线

（2）采用机动法定性绘制超静定结构支座反力F_yA的影响线，强制让A点向上发生单位支座移动，ABCDE的杆件竖向变形位移即为F_yA的影响线。

7. 试用先处理法或直接运用基本概念列出图示刚架在图示结构和单元坐标系的结构刚度方程，设结点1、2、3的角位移均以逆时针方向为正，线位移与坐标物方向一致为正，各杆EI=常数，忽略杆件的轴向变形。（10分）

【答案】采用先处理法

（1）结点位移编码

结点位移列向量

$$\{\mathrm{\Delta }\}=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta }}_1\\ {\mathrm{\Delta }}_2\\ {\mathrm{\Delta }}_3\\ {\mathrm{\Delta }}_4\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta }}_{1y}\\ {\theta }_1\\ {\theta }_2\\ {\theta }_2\end{array}\right\}$$

（2）整体坐标系下的单元刚度矩阵及单元定位向量

$$[k{]}^{(1)}=[k{]}^{(2)}=[\overline{k}{]}^{(2)}=\left[\begin{array}{cc}\frac{4EI}{l}& \frac{2EI}{l}\\ \frac{2EI}{l}& \frac{4EI}{l}\end{array}\right]$$

$$[k{]}^{(3)}=[\overline{k}{]}^{(3)}=\left[\begin{array}{cc}\frac{12EI}{l^3}& \frac{6EI}{l^2}\\ \frac{6EI}{l^2}& \frac{4EI}{l}\end{array}\right]$$

$$\{\lambda {\}}^{(1)}=\left\{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}\right\},\{\lambda {\}}^{(2)}=\left\{\begin{array}{l}3\\ 4\end{array}\right\},\{\lambda {\}}^{(3)}=\left\{\begin{array}{l}1\\ 3\end{array}\right\}$$

（3）结构整体刚度矩阵

$$[K]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& \frac{4EI}{l}& \frac{2EI}{l}& 0\\ 0& \frac{2EI}{l}& \frac{4EI}{l}& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{4EI}{l}& \frac{2EI}{l}\\ 0& 0& \frac{2EI}{l}& \frac{4EI}{l}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}\frac{12EI}{l^3}& 0& \frac{6EI}{l^2}& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ \frac{6EI}{l^2}& 0& \frac{4EI}{l}& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{12EI}{l^3}& 0& \frac{6EI}{l^2}& 0\\ 0& \frac{4EI}{l}& \frac{2EI}{l}& 0\\ \frac{6EI}{l^2}& \frac{2EI}{l}& \frac{12EI}{l}& \frac{2EI}{l}\\ 0& 0& \frac{2EI}{l}& \frac{4EI}{l}\end{array}\right]$$

（4）结构综合结点荷载列向量

直接结点荷载列向量

$$\left\{F_d\right\}=\left\{\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right\}$$

等效结点荷载列向量

$${\left\{{\overline{F}}_f\right\}}^{(1)}=\left\{\begin{array}{c}\frac{q{l}^2}{12}\\ -\frac{q{l}^2}{12}\end{array}\right\}$$

$${\left\{F_{eq}\right\}}^{(1)}={\left\{{\overline{F}}_{eq}\right\}}^{(1)}=-{\left\{{\overline{F}}_f\right\}}^{(1)}=\left\{\begin{array}{c}-\frac{q{l}^2}{12}\\ \frac{q{l}^2}{12}\end{array}\right\}$$

$$\left\{F_{eq}\right\}=\left\{\begin{array}{c}0\\ -\frac{q{l}^2}{12}\\ \frac{q{l}^2}{12}\\ 0\end{array}\right\}$$

综合结点荷载列向量

$$\{F\}=\left\{F_d\right\}+\left\{F_{eq}\right\}=\left\{\begin{array}{c}0\\ -\frac{q{l}^2}{12}\\ \frac{q{l}^2}{12}\\ 0\end{array}\right\}$$

（5）结构刚度方程

$$\{F\}=[K]\{\mathrm{\Delta }\}$$

$$\left\{\begin{array}{c}0\\ -\frac{q{l}^2}{12}\\ \frac{q{l}^2}{12}\\ 0\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{12EI}{l^3}& 0& \frac{6EI}{l^2}& 0\\ 0& \frac{4EI}{l}& \frac{2EI}{l}& 0\\ \frac{6EI}{l^2}& \frac{2EI}{l}& \frac{12EI}{l}& \frac{2EI}{l}\\ 0& 0& \frac{2EI}{l}& \frac{4EI}{l}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta }}_1\\ {\mathrm{\Delta }}_2\\ {\mathrm{\Delta }}_3\\ {\mathrm{\Delta }}_4\end{array}\right\}$$

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